Der Hauptunterschied zwischen einem bestimmten und einem unbestimmen Integral ist das Vorhandensein (bestimmtes Integral) bzw. Fehlen (unbestimmtes Integral) der Integrationsgrenzen.

Bei einem bestimmten Integral ist die Lösung ein Flächeinhalt also ein einfacher Zahlenwert.

Bei einem unbestimmten Integral erhält man als Lösung eine Funktion, eine sogenannte Stammfunktion.

Bestimmte Integrale

Wenn Integralgrenzen angegeben werden, handelt es sich um ein bestimmtes Integral.

Man berechnet den Wert des Integrals mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

%%\int_a^bf\left(x\right)\mathrm{d}x=\left[F\left(x\right)\right]_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)%%,

wobei %%F%% eine Stammfunktion von %%f%% ist.

Das Ergebnis ist ein konkreter Zahlenwert. Das Ergebnis ist damit eindeutig.

%%\int_a^bf\left(x\right)\;\mathrm{d}x\;=\;y,\;y\in \mathbb{R}%%

Unbestimmte Integrale                              

Unbestimmte Integrale haben keine Integralgrenzen.

Sie zu berechnen bedeutet, eine Stammfunktion der Funktion im Integral zu finden.

Das Ergebnis ist eine Funktion. Diese ist jedoch nur bis auf eine Konstante eindeutig: Da eine Stammfunktion abgeleitet wieder die Funktion ergeben muss, kann eine beliebige konstante Zahl zu einer Stammfunktion addiert werden und die neue Funktion ist immer noch eine Stammfunktion, da Konstanten beim Ableiten verschwinden.

Eine Funktion hat also immer unendlich viele Stammfunktionen. Man verdeutlicht dies, indem man hinter eine allgemeine Stammfunktion den Term %%+C%% ergänzt, wobei %%C%% für eine beliebige Zahl aus %%\mathbb{R}%% steht:

%%\int f\left(x\right)\;\mathrm{d}x=F\left(x\right)+C%% für eine allgemeine Stammfunktion %%F%% mit %%F'(x)=f(x)%%.

Vom unbestimmten zum bestimmten Integral

Wenn ein bestimmtes Integral gesucht ist, können wir zunächst das unbestimmte Integral bestimmen und durch die Wahl eines konkreten %%C%% das bestimmte Integral ermitteln.

Beispiel

Man berechne %%\int_2^4(x^3+5)\mathrm{d}x%%.

Das unbestimmte Integral ist gegeben durch %%\int_{}^{}(x^3+5)dx={\textstyle\frac14}x^4+5x+C%%.

Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt nun: %%\int_2^4(x^3+5)dx=\left[\frac14x^4+5x+C\right]_2^4=(64+20+C)-(4+10+C)=70+C-C=70%%.

Hier sieht man, dass die konkrete Wahl der additiven Konstanten %%C%% keinen Einfluss auf den Wert des bestimmten Integrals hat.

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Zu article Bestimmtes und unbestimmtes Integral: Bestimmtes und unbestimmtes Integral - Inhaltlich-didaktische Diskussion
Renate 2014-03-20 17:45:09
Den Abschnitt "Vom bestimmten zum unbestimmten Integral" finde ich überflüssig; denn schon oben ist unter "Bestimmtes Integral" die Berechnung mit Hilfe der Stammfunktion erwähnt.
Zu bedenken außerdem: Es gibt auch einen Artikel "Bestimmtes Integral berechnen". Wenn man überhaupt die Begründung bringen will, warum die Konstante nicht berücksichtigt werden muss, sollte man überlegen, ob sie nicht eher in diesen Artikel gehört (und auch dort wohl nur im Spoiler).
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