Das Integral selbst ist nur ein Zahlenwert. Eine Integralfunktion ist eine Funktion, die den orientierten Flächeninhalt zwischen einer Funktion %%f%% und der %%x%%-Achse von einer gegebenen Stelle %%a%% bis zur Stelle %%x%% angibt.

$$F(x) = \int_a^x f(t)\operatorname{d}t$$

Integralfunktion berechnen

Eine Integralfunktion lässt sich wie ein bestimmtes Integral berechnen, nur dass die obere Grenze von einer Variablen %%x%% abhängt. Man erhält als Ergebnis eine Funktion und nicht wie beim Integral einen Zahlenwert.

Beispiel

Bestimme die Integralfunktion $$\int_3^x t^2\operatorname{d}t$$

1.Suche eine Stammfunktion:

Eine mögliche Stammfunktion zu %%t^2%% ist %%\frac13t^3%%.

$$\int_3^x t^2\operatorname{d}t=\left[\frac13 t^3\right]_3^x$$

2.Einsetzen der Werte:

Setze die Werte der oberen und unteren Grenze in die Stammfunktion ein und ziehe das Ergebniss der oberen Grenze von dem der unteren Grenze ab. Da anders als beim bestimmten Integral die obere Grenze von einer Variable abhängt, lässt du für die obere Grenze einfach die Stammfunktion mit Variable stehen.

$$\int_3^x t^2\operatorname{d}t=\left[\frac13 t^3\right]_3^x=\frac13 x^3-9$$

Veranschaulichung am Applet

Anmerkungen

  • Zu einer gegebenen Funktion %%f%% gibt es verschiedene Integralfunktionen, abhängig von der Konstante %%a%%.

  • Jede Integralfunktion hat an der Stelle %%x=a%% eine Nullstelle, also besitzt diese mindestens eine Nullstelle.

  • Die Steigung einer Integralfunktion %%I(x)%% an einer Stelle %%x_0%% ist gleich dem Funktionswert %%f(x_0)%%.

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Zu article Integralfunktion :
Benedict 2019-01-11 13:28:36
Der Satz unter "Integralfunktion berechnen" ergibt finde ich wenig Sinn, da sich eine Integralfunktion eher wie ein bestimmtes Integral berechnen lässt. Dann würde auch der zweite Satz mehr Sinn ergeben. Denn beim bestimmten Integral kommt ein Zahlenwert raus, was einen Unterschied zur Integralfunktion darstellt. (Zumindest wenn man annimmt, dass sich das "Integral" auf das unbestimmte Integral im Satz davor bezieht)
Nish 2019-01-14 08:24:59
Vielen Dank für den Hinweis, Benedict! Du hast natürlich recht! Ich bessere das gleich aus und bei Gelegenheit überarbeiten wir diesen Artikel sicherlich noch.

Falls du auch Zeit und Lust hast mitzuwirken, gib mir bitte Bescheid! :) Dann zeigen wir dir gerne, wie du selber Inhalte (leicht) Inhalte bearbeiten kannst!

LG,
Nish
Benedict 2019-01-14 14:14:23
Generell wirke ich gerne mit, wenn ich Zeit habe. Wobei ich kein Lehramtsstudium in meinem Lebenslauf verzeichnen kann ;) , weshalb ich mir nicht bei allem zutraue eine anschauliche und inhaltlich vollständige Erklärung bieten zu können.

LG
Benedict
Alex_Lueckenhaus 2019-01-22 12:37:39
Hallo Zusammen,
die Erklärung habe ich nun ein wenig überarrbeitet und würde mich über Feedback freuen.
Viele Grüße
Alex
Nish 2019-01-25 16:13:06
Hallo Bendict,

es freut mich sehr, dass du mitmachen möchtest, wenn du Zeit hast! Sry. für meine sehr späte Rückmeldung, hatte einiges um die Ohren und bin erst heute dazu gekommen dir zu antworten...

Ich glaube, dass du das schon ganz gut hinbekommen wirst. Ansonsten sind wir ja eine Community mit einigen, vielseitigen und hilfsbereiten Menschen, sodass wir gemeinsam sehr gute Inhalte schaffen können.
Lehramt ist also keine Voraussetzung hier mitzumachen! Ich bin auch keiner! ;)

LG,
Nish

PS: Nutze doch dann einfach diesen Kommentar hier oder unseren Community-Chat (Link: https://discord.gg/Ag7kcSy, mehr Infos hierzu unter www.serlo.org/communtiy) um uns zu kontaktieren, wenn du Zeit hast, mitzuarbeiten. Dann können wir gemeinsam schauen, worauf du Lust hast bzw. wie du uns aktuell helfen kannst.
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Zu article Integralfunktion : Applet
fischthi 2015-10-05 19:29:14
Wenn man auf "Den Graph von f in den Hintergrund" drückt, verschwindet zwar f, aber der gestrichelte Graph ist immer die Normalparabel, egal welches f man eingibt.
Nish 2015-10-06 13:20:00
Danke für den Hinweis. Möchtest du es gleich ändern?
Hannes 2015-10-08 13:44:10
Habs geändert. Sollte jetzt funktionieren ;)