Gemäß der allgemeinen Definition der Stetigkeit einer Funktion f ist folgende Gleichungskette zu zeigen:

$$f(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_{0^-}}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow x_{0^+}}{f(x)}$$

 Dabei betrachtet man bei %%x_{0^-}%% die Funktion auf der linken Seite von %%x_{0}%% und bei %%x_{0^+}%% auf der rechten Seite von %%x_0%% .

Beispiel

Abschnittweise definierte Funktionen

Im Folgenden wird die Stetigkeit der Funktion 

%%f(x)=\left\{\begin{array}{c}-x+2\;,\;\mathrm{für}\;x\leqslant1\\x\;\;\;,\;\mathrm{für}\;x>1\end{array}\right.%%

nachgewiesen.

legacy geogebra formula

Im linken Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen

Die im linken Abschnitt ( %%x\leqslant1%% ) definierte Funktion lautet %%-x+2%% , stellt also eine Gerade dar. Bekanntlich besitzen Geraden keine Sprungstellen (= Unstetigkeitsstellen).

%%\Rightarrow%% Also ist die Funktion im linken Abschnitt stetig.

Im rechten Abschnitt definierte Funktion separat auf Stetigkeit überprüfen

Die im rechten Abschnitt ( %%x>1%% ) definierte Funktion lautet %%x%% und stellt ebenso eine Gerade dar.

%%\Rightarrow%% Auch die Funktion im rechten Abschnitt ist stetig

Funktion an der "interessanten" Stelle %%x_0=1%% auf Stetigkeit überprüfen

$$f(1)=-1+2=1$$ $$\lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^-}(-x+2)=-1+2=1$$ $$\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^-}(x)=1$$ $$\Rightarrow f(x_0)=\lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=1$$ %%\Rightarrow%% %%f%% ist stetig bei %%x_0=1%%

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