Aufgaben

Berechne für die folgende Funktion die Nullstellen und den Funktionswert, der an der Stelle %%x=2%% angenommen wird. Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

%%f\left(x\right)=x^2-4x+6%%

%%f\left(x\right)=x^2-4x+6%%

Setze die Funktion gleich 0.

        %%0=x^2-4x+6%%

Du erhältst eine quadratische Gleichung. und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.

Berechne zunächst die Diskriminante %%D%%; denn falls %%D < 0%% ist, gibt es ohnehin keine Lösungen.

%%D=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot6=16-24=-8<0%%

Damit besitzt %%f%% keine Nullstellen.

Funktionswert an der Stelle x = 2

 

%%f\left(x\right)=x^2-4x+6%%

Setze für x den Wert 2 ein.

%%f\left(2\right)=2^2-4\cdot2+6=4-8+6=2%%

Rechne aus.

 

Graphen zeichnen

 

Um den Graphen zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen:

1.Möglichkeit: Scheitelform

%%\begin{array}{l}f(x)=x^2-4x+6=x^2-4x+4-4+6=(x-2)^2+2\\\end{array}%%

Also handelt es sich bei %%G_f%% um eine verschobene Normalparabel mit Scheitel %%S(2|2)%%.

2.Möglichkeit: Lege mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle an.

Image Title

%%f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12%%

%%f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12%%

Setze die Funktion gleich 0.

Du erhältst eine quadratische Funktion und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.

%%0=\frac12x^2+x+1\frac12%%

Berechne zunächst die Diskriminante %%D%%; denn falls %%D<0%% ist, gibt es ohnehin keine Lösung.

%%D=1^2-4\cdot\frac12\cdot1\frac12=1-3=-2<0%%   

 

Damit besitzt %%f%% keine Nullstellen.  

Funktionswert an der Stelle x = 2

 

%%f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12%%

Setze in x den Wert 2 ein.

%%f\left(2\right)=\frac12\cdot2^2+2+1\frac12=2+2+1\frac12=5\frac12%%

Graphen zeichnen

 

Um den Graphen von %%f%% zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen.

1.Möglichkeit: Scheitelform

%%\begin{array}{l}f(x)=\frac12x^2+x+1\frac12=\frac12(x^2+2x)+1\frac12\\\;\;\;\;\;\;=\frac12(x^2+2x+1-1)+1\frac12=\frac12\lbrack(x+1)^2-1\rbrack+1\frac12\\\;\;\;\;\;\;=\frac12(x+1)^2+1\end{array}%%

Damit handelt es sich bei %%G_f%% um eine um den Faktor %%\frac12%% gestauchte Normalparabel mit Scheitel %%S(-1|1)%%.

2.Möglichkeit:

Erstelle mit dem Taschenrechner/im Kopf eine Wertetabelle.

Image Title

%%f\left(x\right)=-x^2+5x-4%%

%%f\left(x\right)=-x^2+5x-4%%

Funktion gleich 0 setzen.

        %%0=-x^2+5x-4%%

Diskriminante berechnen.

%%D=5^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)=25-16=9>0%%

Daher gibt es zwei Nullstellen.

%%0=-x^2+5x-4%%

In die Mitternachsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.

%%x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt9}{2\cdot\left(-1\right)}%%

%%x_1%% berechnen.

%%x_1=\frac{-5+3}{-2}=\frac{-2}{-2}=1%%

%%x_2%% berechnen.

%%x_2=\frac{-5-3}{-2}=\frac{-8}{-2}=4%%

 

%%\;\;\Rightarrow%%   die Nullstellen sind 1 und 4

 

Funktionswert an der Stelle x = 2

 

%%f\left(x\right)=-x^2+5x-4%%

In x 2 einsetzen.

%%f\left(2\right)=-2^2+5\cdot2-4=-4+10-4=2%%

Graphen zeichnen

 

Image Title

Bestimme die Nullstellen der verschobenen Parabeln.

Bestimme die Nullstellen von der Funktion f(x)=(x+1,5)2f(x)=(x+1{,}5)^2.
(x+1,5)2(x+1{,}5)^2
Setze die Funktion gleich 0.
(x+1,5)2=0(x+1{,}5)^2=0 x+1,5=0x+1{,}5=0 x=1,5x=-1{,}5
| \sqrt{} |1,5{}-1{,}5


Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen:

%%x^2+3x+4%%

Nullstellen

%%\dfrac{-3\pm{\sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 4}}}{2\cdot1}%%

Erster Schritt ist, da wir hier eine quadratische Funktion vorliegen haben, Mitternachtsformel anwenden.

%%\dfrac{-3\pm\sqrt{-7}}{2}%%

Schritt Zwei die Diskriminante, also das was unter der Wurzel steht ausrechnen.

Diskriminante D = %%-7%%

Da die Diskriminante D hier negativ ist, folgt daraus das diese Funktion keine Nullstellen hat.

%%3x^3+5x^2+x%%

Nullstellen

%%3x^3+5x^2+x%%

Zu allererst schaust du dir an ob du eine Variable ausklammern kannst.

Bei dieser Funktion kannst du ein x ausklammern.

%%x\cdot(3x^2+5x+1)%%

Jetzt überlegst du dir wann die Funktion Null wird.

Das Produkt zweier Faktoren wird genau dann Null wenn ein Faktor Null wird.

Für %%x=0%% folgt %%0\cdot(0+0+1)=0%%

Wie du siehst ist %%x=0%% eine Nullstelle der Funktion.

%%3x^2+5x+1%%

Jetzt schaust du dir nur noch den Term in der Klammer an.

Dieser ist eine quadratische Funktion und quadratische Funktionen löst du mit der Mitternachtsformel.

%%\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot3\cdot1}}{2\cdot3}%%

Mitternachtsformel anwenden

%%\dfrac{-5\pm\sqrt13}{6}%%

Diskriminante ausrechnen.

Wie du siehst ist die D positiv, daraus folgt es gibt zwei Lösungen für x

%%x=\dfrac{-5+\sqrt{13}}{6}%% und %%\dfrac{-5-\sqrt{13}}{6}%%

%%x=0%% und %%x=\dfrac{-5+\sqrt{13}}{6}%% und %%x=\dfrac{-5-\sqrt{13}}{6}%%

Die Funktion hat also 3 Nullstellen.

%%x^2-12x+36%%

Nullstellen

%%x^2-12x+36%%

Du kannst die Nullstellen natürlich auch mit der Mitternachtsformel lösen.

Allerdings kannst du dir viel Arbeit sparen, wenn du erkennst das hier die 2. binomische Formel steht.

%%(x-6)^2%%

Jetzt musst du schauen wann die Klammer null wird.

Hier wird die Klammer für %%x=6%% Null.

Damit ist die Nullstelle der Funktion %%x=6%%

%%4x^2-25%%

Nullstellen

In der Funktion findest du die 3. binomische Formel.

%%f(x)=4x^2-25%%

An dieser Stelle lässt sich die 3. binomische Formel anwenden.

%%f(x)=(2x-5)\dot(2x+5)%%

Die Funktion steht jetzt in Faktorform da.

Jetzt schaust du dir die einzelnen Faktoren an.

Der erste Faktor: %%(2x-5)%%

An dieser Stelle setzt du den Term in der Klammer gleich Null.

Bestimme durch geschicktes Rechnen die Nullstellen der folgenden Funktionen:

%%f(x)=x²-4%%

Bestimmung von Nullstellen

In dieser Aufgabe bestimmst du die Nullstellen der Funktion %%f(x)%%, setzte dazu %%f(x)=0%% und löse nach %%x%% auf

%%f(x)=x²-4=0%%

%%|+4%%

%%4=x^2%%

%%|\sqrt{}%%

%%\pm\sqrt{4}=x%%

%%\pm2=x%%

Die Nullstellen der Funktion %%f(x)%% sind %%x=-2%% und %%x=2%%

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