Aufgaben
Berechne für die folgende Funktion die Nullstellen und den Funktionswert, der an der Stelle x=2x=2 angenommen wird. Zeichne den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

f(x)=x24x+6f\left(x\right)=x^2-4x+6
Setze die Funktion gleich 0.
0=x24x+60=x^2-4x+6
Du erhältst eine quadratische Gleichung. und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.

Berechne zunächst die Diskriminante DD; denn falls D<0D < 0 ist, gibt es ohnehin keine Lösungen.
D=(4)2416=1624=8<0D=\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot6=16-24=-8<0
Damit besitzt ff keine Nullstellen.

Funktionswert an der Stelle x = 2

f(x)=x24x+6f\left(x\right)=x^2-4x+6
Setze für x den Wert 2 ein.
f(2)=2242+6=48+6=2f\left(2\right)=2^2-4\cdot2+6=4-8+6=2

Graphen zeichnen

Um den Graphen zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen:
1. Möglichkeit: Scheitelform
f(x)=x24x+6=x24x+44+6=(x2)2+2\begin{array}{rcl}f(x)&=&x^2-4x+6\\&=&x^2-4x+4-4+6\\&=&(x-2)^2+2\\\end{array}
Also handelt es sich bei GfG_f um eine verschobene Normalparabel mit Scheitel S(22)S(2|2).
2. Möglichkeit: Lege mit dem Taschenrechner eine Wertetabelle an.
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f(x)=12x2+x+112f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

f(x)=12x2+x+112f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12
Setze die Funktion gleich 0.
Du erhältst eine quadratische Funktion und kannst daher mit der Mitternachtsformel arbeiten.
0=12x2+x+1120=\frac12x^2+x+1\frac12
Berechne zunächst die Diskriminante DD; denn falls D<0D<0 ist, gibt es ohnehin keine Lösung.
D=12412112=13=2<0D=1^2-4\cdot\frac12\cdot1\frac12=1-3=-2<0
Damit besitzt ff keine Nullstellen.

Funktionswert an der Stelle x = 2

f(x)=12x2+x+112f\left(x\right)=\frac12x^2+x+1\frac12
Setze in x den Wert 2 ein.
f(2)=1222+2+112=2+2+112=512f\left(2\right)=\frac12\cdot2^2+2+1\frac12=2+2+1\frac12=5\frac12

Graphen zeichnen

Um den Graphen von ff zu zeichnen, kannst du verschieden vorgehen.
1. Möglichkeit: Scheitelform
f(x)=12x2+x+112=12(x2+2x)+112            =12(x2+2x+11)+112=12[(x+1)21]+112            =12(x+1)2+1\begin{array}{l}f(x)=\frac12x^2+x+1\frac12=\frac12(x^2+2x)+1\frac12\\\;\;\;\;\;\;=\frac12(x^2+2x+1-1)+1\frac12=\frac12\lbrack(x+1)^2-1\rbrack+1\frac12\\\;\;\;\;\;\;=\frac12(x+1)^2+1\end{array}
Damit handelt es sich bei GfG_f um eine um den Faktor 12\frac12 gestauchte Normalparabel mit Scheitel S(11)S(-1|1).
2. Möglichkeit:
Erstelle mit dem Taschenrechner/im Kopf eine Wertetabelle.
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f(x)=x2+5x4f\left(x\right)=-x^2+5x-4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

f(x)=x2+5x4f\left(x\right)=-x^2+5x-4
Funktion gleich 0 setzen.
0=x2+5x40=-x^2+5x-4
Diskriminante berechnen.
D=524(1)(4)=2516=9>0D=5^2-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-4\right)=25-16=9>0
Daher gibt es zwei Nullstellen.
0=x2+5x40=-x^2+5x-4
In die Mitternachsformel einsetzen dabei die berechnete Diskriminante einsetzen.
x1,2=5±92(1)x_{1,2}=\frac{-5\pm\sqrt9}{2\cdot\left(-1\right)}
x1=5+32=22=1x_1=\frac{-5+3}{-2}=\frac{-2}{-2}=1
x2=532=82=4x_2=\frac{-5-3}{-2}=\frac{-8}{-2}=4
    \;\;\Rightarrow   die Nullstellen sind x1=1x_1=1 und x2=4x_2=4.

Funktionswert an der Stelle x = 2

f(x)=x2+5x4f\left(x\right)=-x^2+5x-4
x=2x=2 einsetzen.
f(2)=22+524=4+104=2f\left(2\right)=-2^2+5\cdot2-4=-4+10-4=2

Graphen zeichnen

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Bestimme die Nullstellen der verschobenen Parabeln.
h1:  xx264h_1:\;x\mapsto x^2-64

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

x264x^2-64
Setze die Funktion gleich 0.
x264=0x^2-64=0 x2=64x^2=64 x=64x=\sqrt{64}
|+64 |\sqrt{}

x1=+8;      x2=8\Rightarrow x_1=+8;\;\;\;x_2=-8
h2 ⁣:xx22,25h_2\colon x\mapsto x^2-2{,}25

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

x22,25x^2-2{,}25
Setze die Funktion gleich 0.
x22,25=0x^2-2{,}25=0
x2=2,25x^2=2{,}25 x=2,25x=\sqrt{2{,}25}
|+2,25{}+2{,}25 | \sqrt{}

x1=+1,5;      x2=1,5\Rightarrow x_1=+1{,}5;\;\;\;x_2=-1{,}5
h3:  xx2+1h_3:\;x\mapsto x^2+1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

x2+1x^2+1
Setze die Funktion gleich 0.
x2+1=0x^2+1=0 x2=1x^2=-1
|-1

Damit gibt es keine Nullstelle.
Bestimme die Nullstellen von der Funktion f(x)=(x+1,5)2f(x)=(x+1{,}5)^2.
(x+1,5)2(x+1{,}5)^2
Setze die Funktion gleich 0.
(x+1,5)2=0(x+1{,}5)^2=0 x+1,5=0x+1{,}5=0 x=1,5x=-1{,}5
| \sqrt{} |1,5{}-1{,}5

Bestimme die Nullstellen folgender Funktionen:
x2+3x+4x^2+3x+4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

3±3241421\dfrac{-3\pm{\sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot 4}}}{2\cdot1}
Erster Schritt ist, da wir hier eine quadratische Funktion vorliegen haben, Mitternachtsformel anwenden.
3±72\dfrac{-3\pm\sqrt{-7}}{2}
Schritt Zwei die Diskriminante, also das was unter der Wurzel steht ausrechnen.
Diskriminante D = 7-7
Da die Diskriminante D hier negativ ist, folgt daraus das diese Funktion keine Nullstellen hat.
x212x+36x^2-12x+36

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

x212x+36x^2-12x+36
Du kannst die Nullstellen natürlich auch mit der Mitternachtsformel lösen.
Allerdings kannst du dir viel Arbeit sparen, wenn du erkennst das hier die 2. binomische Formel steht.
(x6)2(x-6)^2
Jetzt musst du schauen wann die Klammer null wird.
Hier wird die Klammer für x=6x=6 Null.
Damit ist die Nullstelle der Funktion x=6x=6
(x+3)(x4)(x+3)\cdot(x-4)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Die Funktion steht in Faktorform da.
(x+3)(x4)(x+3)\cdot(x-4)
Du kannst die Nullstellen ablesen.
Die Funktion besitzt zwei Nullstellen bei x=4x=4 und x=3x=-3
4x2254x^2-25

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

In der Funktion findest du die 3. binomische Formel.
f(x)=4x225f(x)=4x^2-25
An dieser Stelle lässt sich die 3. binomische Formel anwenden.
f(x)=(2x5)(˙2x+5)f(x)=(2x-5)\dot(2x+5)
Die Funktion steht jetzt in Faktorform da.
Jetzt schaust du dir die einzelnen Faktoren an.
Der erste Faktor: (2x5)(2x-5)
An dieser Stelle setzt du den Term in der Klammer gleich Null.

Bestimme durch geschicktes Rechnen die Nullstellen der folgenden Funktionen:

%%f(x)=x²-4%%

Bestimmung von Nullstellen

In dieser Aufgabe bestimmst du die Nullstellen der Funktion %%f(x)%%, setzte dazu %%f(x)=0%% und löse nach %%x%% auf

%%f(x)=x²-4=0%%

%%|+4%%

%%4=x^2%%

%%|\sqrt{}%%

%%\pm\sqrt{4}=x%%

%%\pm2=x%%

Die Nullstellen der Funktion %%f(x)%% sind %%x=-2%% und %%x=2%%

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