Aufgaben
Finde die passenden Gleichungen zu den Funktionsgraphen:
Zu text-exercise-group 53205:
Renate 2017-12-13 15:11:24+0100
Wirklich hilfreich, dass man die Graphiken durch Anklicken vergrößert anzeigen lassen kann - das erleichtert das Lösen dieser Aufgaben deutlich!

Den Tipp eines Schülers von mir möchte ich jedoch weitergeben: Ein Karo-Gitternetz in den Graphiken wäre sehr gut zum Erkennen von Nullstellen, Periode o.ä.

Vielleicht könnte jemand bei Gelegenheit die Graphiken noch optimieren? Also Beschriftungen vergrößern, Gitternetz einfügen o.ä.?

Denn eigentlich sind Aufgaben dieser Art für das Verständnis des Stoffs sehr wichtig und wirklich gut gestellt, vielen Dank dafür!

Gruß
Renate
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Graph1

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion

Die Ruhelage der Funktion liegt auf der xx-Achse.
Lösungsteil1
Der Graph schneidet das Koordinatensystem im Nullpunkt, also handelt es sich um eine Sinusfunktion (beziehungsweise einen verschobenen Kosinus).
Lösungsteil2
Da es leichter ist, verwendest du in den weiteren Schritten die Sinusfunktion.
Im nächsten Schritt suchst du nach der Amplitude der Funktion.
Die Amplitude der Funktion ist 33. Das heißt, dass die Funktion vorerst von der Form f(x)=3sin(x)f(x)=3\cdot\sin(x) ist.
Lösungsteil3
Jetzt fehlt dir nur noch die Periode der Funktion. Am Graphen kannst du ablesen, dass diese 2π2\pi beträgt. Das ist die normale Periode von der Sinusfunktion.
Da die Periode der Sinusfunktion nicht verändert wurde, lautet die Funktion:
f(x)=3sin(x).\displaystyle f(x)=3\cdot\sin(x).
Lösungsteil4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion

Bestimme zunächst die Ruhelage der Funktion.

Ruhelage bestimmen

Die Ruhelage der Funktion liegt 33 Einheiten über der xx-Achse.
Lösungsteil1
Der Graph hat ein Extremum (E) auf der yy-Achse. Das heißt, es handelt sich um eine Kosinusfunktion (beziehungsweise eine verschobene Sinusfunktion).
Da es leichter ist, beschränken wir uns hier auf die Kosinusfunktion.
Aufgrund der bisherigen Erkenntnisse gehen wir zunächst von folgender Form aus:
g(x)=cos(x)+3\displaystyle g(x)=\cos(x)+3
Lösungsteil2

Amplitude ermitteln

Als nächsten Schritt betrachten wir die Amplitude der gegeben Kosinusfunktion. Dazu müssen wir den Abstand eines Extremums zu der Ruhelage herausfinden.
Die Amplitude der Funktion hat den Wert 22. Das heißt, sie ist doppelt so groß wie bei der normalen Sinusfunktion. Daraus ergibt sich die vorläufige Form der Funktion:
g(x)=2cos(x)+3\displaystyle g(x)=2\cdot\cos(x)+3
Lösungsteil3

Untersuchung der Periode

Als nächstes untersuchst du die Periode der Funktion. Dazu untersuchst du, wie viele Perioden der gegebenen Funktion in dem Intervall [0,2π][0,2\pi] liegen. Bei der normalen Kosinusfunktion liegt in diesem Intervall genau eine Periode. Hier sind es genau zwei Perioden, da im halben Intervall [0,π][0,\pi] eine Periode liegt. Also ist die Funktion um den Faktor 22 gestaucht.

Ergebnis

Da die Funktion um den Faktor 22 gestaucht ist, lautet die Funktion:
g(x)=2cos(2x)+3\displaystyle g(x)=2\cdot\cos(2x)+3
Lösungsteil4
Graph3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion

Die Ruhelage der Funktion liegt bei y=2y=2.
Lösungsteil1
Als nächstes findest du die Art der Funktion heraus. Handelt es sich bei der Funktion um einen Kosinus oder um einen Sinus?
Da die Funktion die yy-Achse im selben Punkt schneidet wie die Ruhelage, also in S(02),S(0\mid 2), handelt es sich um eine Sinusfunktion (beziehungsweise um eine verschobene Kosinusfunktion). Da es die folgenden Schritte erleichtert nehmen wir an, dass es sich um eine Sinusfunktion handelt.
Die Funktion ist fürs Erste von der Form:
Lösungsteil2
Der nächste Schritt, den du machst, ist die Bestimmung der Amplitude.
Da die Extrema jeweils eine Einheit in yy-Richtung von der Ruhelage entfernt sind, handelt es sich um die Standard-Sinus-Amplitude.
Da die Amplitude der normalen Amplitude der Sinusfunktion entspricht, bleibt es zunächst bei der Form der Funktion:
Lösungsteil3
Jetzt fehlt dir nur noch die Periode der Funktion.
Betrachte dazu zum Beispiel den xx-Achsenabschnitt von 00 bis π\pi. In diesem Abschnitt befinden sich 2,52,5 Perioden der Funktion. Da eine Periode der Standard-Sinus-Funktion von 00 bis 2π2\pi geht, multiplizieren wir den Wert 2,52,5 mit 22. Damit kommen wir auf den Stauchungsfaktor 55.
Da die Funktion um den Faktor 55 gestaucht ist, lautet die passende Funktion zu dem Bild:
h(x)=sin(5x)+2.\displaystyle h(x)=\sin(5x)+2.
Lösungsteil4
Graph4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion

Die Ruhelage der Funktion entspricht der xx-Achse.
Lösungsteil1
Als erstes findest du heraus, ob es sich um eine Sinusfunktion oder eine Kosinusfunktion handelt.
Die Funktion schneidet die yy-Achse weder in einem Extrempunkt, noch im Nullpunkt. Betrachtest du aber die Parallele zur yy-Achse durch die Stelle 1-1 auf der xx-Achse. Die Funktion schneidet in einem Maximum diese Parallele. Deshalb nehmen wir an, dass es sich um eine verschobene Kosinusfunktion handelt.
Da die Kosinusfunktion um eine Einheit nach links verschoben ist, lautet die vorläufige Funktion:
i(x)=cos(x+1).\displaystyle i(x)=\cos(x+1).
Lösungsteil2
Jetzt ermittelst du die Amplitude der Funktion.
Der Abstand der Extrema zu der Ruhelage hat den Wert 11, also wird an der Amplitude der Funktion nichts geändert.
Die Amplitude in bei der Funktion nicht manipuliert.
Lösungsteil3
Als letztes fehlt dir nur noch die Periode der Funktion.
Dazu betrachten wir ein Intervall der Länge π\pi das von 1-1 nach rechts verläuft. In diesem Intervall befinden sich 1,51,5 Perioden der Funktion, also 33 in einem Intervall von 2π2\pi. Da 2π2\pi die Periode der Standard-Kosinus-Funktion ist, ist die Funktion um den Faktor 33 gestaucht.
Da die Funktion um den Faktor 33 gestaucht ist, lautet sie:
Lösungsteil4
Ordne folgendem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:
Graph
f(x)=4sin(x)f(x)=4\cdot\sin(x)
f(x)=4cos(x)f(x)=4\cdot\cos(x)
f(x)=5cos(x)f(x)=5\cdot\cos(x)
f(x)=12sin(x)f(x)=12\cdot\sin(x)
Ordne folgendem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:
Graph
f(x)=3cos(x)+2f(x)=3\cdot\cos(x) + 2
f(x)=3sin(x)f(x)=3\cdot\sin(x)
f(x)=3sin(x)+2f(x)=3\cdot\sin(x)+2
f(x)=3cos(x)3f(x)=3\cdot\cos(x)-3

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verschieben und Strecken von Sinus und Kosinus

Du siehst das der Graph der gesuchten Funktion achsensymmetrisch bezüglich der yy-Achse ist. Nachdem die sin(x)\sin(x)-Funktion punktsymmertrisch ist, kannst du direkt die Funtkionen 3sin(x)3\cdot\sin(x)und 3sin(x)+23\cdot\sin(x)+2 ausschließen.
Graph
Betrachtest du nun die Kosinus-Funktionen, musst du nach einer Funktion suchen, deren Ruhelage um 22 nach oben verschoben ist, weil die Mitte zwischen dem höchsten und niedrigsten Punktes der gesuchten Funktion (5+(1)):2=2(5+(-1)):2=2 ist.
Außerdem muss die Amplitude der gesuchten Funktion 33 betragen, denn der größte Abstand zwischen Ruhelage und einem Funktionswert beträgt 33. Wegen diesen beiden Eigenschaften kannst du direkt die Funktion 3cos(x)33\cdot\cos(x)-3 ausschließen, denn dort ist die Ruhelage bei y=3y=-3. Die gesuchte Funktion ist also:3cos(x)+23\cdot\cos(x)+2
Graph
Zeichne die Funktion ff mit der Gleichung  f(x)=3sin(34(xπ))f\left(x\right)=3\cdot\sin\left(\frac34(x-\mathrm\pi)\right) in ein Koordinatensystem.
Tipp: Schau dir hierfür nochmal die Regeln zum Verschieben und Strecken der Sinus- und Kosinusfunktion an.
Suche als Erstes den Startpunkt deines Graphen; dieser liegt bei π\mathrm\pi.
Jetzt musst du nur noch die Periode TT herausfinden. Diese bestimmst du mit der Bedingung 2π=34T2\mathrm\pi = \frac34 \cdot T. Du erhältst in diesem Fall also T=83πT = \frac83\mathrm\pi.
Nun kannst du die Sinusfunktion zeichnen,allerdings mit einer Amplitude von 33 statt von 11.
Sinuskurve
Zeichne im Definitionsbereich [π,3π]\lbrack-\mathrm\pi,3\mathrm\pi\rbrack die manipulierte Sinusfunktion f(x)=2sin(xπ2)2f(x)=2\cdot\sin(x-\frac{\mathrm\pi}2)-2 und lies ihren Wertebereich, Nullstellen und Extremstelle ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinusfunktion

Tipp: Schau hierfür nochmal die Regeln zum Verschieben und Strecken der Sinus- und Kosinusfunktion an.
Suche als Erstes den Startpunkt deiner Sinusfunktion. Dieser liegt auf der xx-Achse bei +π2+\frac{\mathrm\pi}2 und auf der yy-Achse bei 2-2. Zeichne von diesen Punkt eine Sinuskurve, allerdings mit der Höhe von 22 statt 11. Danach musst du nur noch die gesuchten Werte ablesen:
Wertebereich:[4,0][-4,0]
Nullstellen:π;π;3π-\mathrm\pi; \mathrm\pi; 3\mathrm\pi
Extremstellen:π;0;π;2π;3π-\mathrm{\pi};0;\mathrm{\pi};2\mathrm{\pi};3\mathrm{\pi}
Sinus
Zeichne im Definitionsbereich [0,5π2]\lbrack0,\frac{5\mathrm\pi}2\rbrack die manipulierte Sinusfunktion f(x)=sin(xπ)f(x)=-\sin(x-\mathrm\pi) und lies ihren Wertebereich, Nullstellen und Extremstelle ab.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus- und Kosinusfunktion

Tipp: Schau hierfür nochmal die Regeln zum Verschieben und Strecken der Sinus- und Kosinusfunktion an.
Suche als Erstes den Startpunkt deiner Sinusfunktion. Dieser liegt auf der x−Achse bei +π+\mathrm\pi und auf der y−Achse bei 00. Zeichne von diesen Punkt eine Sinuskurve, allerdings, durch das Minus vor der Funktion, genau umgekehrt. Also zeichne die Sinuskurve als Erstes nach unten. Danach musst du nur noch die gesuchten Werte ablesen:
Wertebereich: [1;1][-1;1]
Nullstellen: 0,π,2π0,\mathrm\pi,2\mathrm\pi
Extremstellen: π2,3π2,5π2\frac{\mathrm\pi}2,\frac{3\mathrm\pi}2,\frac{5\mathrm\pi}2
Sinuskurve
Notiere eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und beobachte, wie sich jeweils der Graph im Vergleich zur Funktonsgleichung  y=cos(x)y=\cos\left(x\right)  ändert.
y=cos(x)+1y=\cos\left(x\right)+1 . Formuliere: " +1+1 " bewirkt…

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen

+1+1  bewirkt die Verschiebung des Graphen entlang der y-Achse in positiver Richtung um den Betrag  1\left|1\right|
y=cos(x+π2)y=\cos\left(x+\frac\pi2\right) . Formuliere: " +π2+\frac{\mathrm\pi}2 " beim xx-Wert bewirkt…

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen

+π2+\frac{\mathrm\pi}2  bewirkt die Verschiebung des Graphen entlang der x-Achse in negative Richtung um den Betrag  π2\left|\frac{\mathrm\pi}2\right|
y=2cos(x)y=2\cdot\cos\left(x\right) . Formuliere: " 2\cdot2 " bewirkt…

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Verschieben und Strecken von trigonometrischen Funktionen

2\cdot2  bewirkt die Streckung des Graphen entlang der y-Achse, sowie die Veränderung des Amplitudenausschlags.
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