Gegeben ist die Funktion %%f%% mit %%f(x)=(x^2+x-5)\cdot e^x%% .

Bestimme alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von %%f%%.

Hoch- und Tiefpunkte einer reellwertigen Funktion berechnen:

  • Hoch- und Tiefpunkte einer differenzierbaren Funktion %%f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}%% sind insbesondere stationäre Punkte von %%f%%, also Punkte %%\tilde x%% mit %%f'(\tilde x) = 0%%.

  • Ist %%f%% zweimal differenzierbar und %%\tilde x%% ein stationärer Punkt von %%f%%, so kann man mithilfe der zweiten Ableitung %%f''%% entscheiden, ob es sich bei %%\tilde x%% um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt:

    • %%f''(\tilde x) > 0 \Rightarrow \tilde x%% ist ein Tiefpunkt.
    • %%f''(\tilde x) < 0 \Rightarrow \tilde x%% ist ein Hochpunkt.

Du kannst diese Aufgabe auf folgende Weise lösen:

  1. Entscheide, ob %%f%% differenzierbar ist. Falls dem so ist, berechne die erste Ableitung %%f'(x)%%.
  2. Löse die Gleichung %%f'(x)=0%% nach %%x%% auf, falls dies möglich ist.
  3. Entscheide, ob %%f'%% differenzierbar ist. Wenn ja, berechne die zweite Ableitung %%f''(x)%%.
  4. Prüfe für alle in Schritt 2 berechneten Lösungen %%\tilde x%% von %%f'(x)=0%%, ob %%f''(\tilde x) \lessgtr 0%% ist und gib an, von welchem Typ der jeweilige stationäre Punkt ist.

%%f(x) = (x^2 + x - 5) \cdot e^x%%

Die Exponentialfunktion %%x \mapsto e^x%% ist beliebig oft differenzierbar mit %%(e^x)''=(e^x)'=e^x%%. Da Polynome stets beliebig oft differenzierbar sind, ist die Funktion %%x \mapsto x^2+x-5%% beliebig oft differenzierbar:

Es gelten:

%%(x^2+x-5)'=2x+1%%

Gemäß der Produktregel ist daher auch %%f%% beliebig oft differenzierbar. Du kannst also gleich erste und zweite Ableitung berechnen

$$f'(x) = e^x \cdot (x^2+x-5) + e^x \cdot (2x+1) = e^x \cdot (x^2 + 3x - 4)$$

$$f''(x) = (f'(x))' = e^x \cdot (x^2 + 3x -4) + e^x \cdot (2x + 3) = (x^2+5x-1) \cdot e^x$$

und damit die Lösungen der Gleichung %%f'(x)=0%%:

%%f'(x)=0%%

%%\Leftrightarrow e^x \cdot (x^2 + 3x -4) = 0%%

Die linke Gleichungsseite ist genau dann gleich %%0%%, wenn einer der beiden Faktoren des dortigen Produktes gleich %%0%% ist. Da die Exponentialfunktion %%x \mapsto e^x%% nur positive Werte annimmt, muss %%x^2 + 3x -4 = 0%% gelten.

%%\Leftrightarrow x^2 + 3x -4 = 0%%

Das ist eine quadratische Gleichung, die der Theorie gemäß höchstens zwei reelle Lösungen (Nullstellen) hat. Diese kannst du mit der PQ-Formel berechnen:

$$\begin{align}x&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2-(-4)}\\&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4} + 4}\\&= -\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\\&= -\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2} \Leftrightarrow x \in \{-4, 1 \}\end{align}$$

%%\Leftrightarrow x \in \{-4, 1\}%%

(Der Äquivalenzpfeil behält hier seine Gültigkeit, da die Gleichung genau zwei reelle Lösungen besitzt)

Somit sind %%-4%% und %%1%% die einzigen stationären Punkte von %%f%%. Um nun herauszufinden, ob es sich bei diesen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, setzt du sie in die bereits berechnete zweite Ableitung von %%f%% ein:

%%f''(-4) = ((-4)^2+5 \cdot (-4)-1) \cdot e^{-4} = (16 - 20 - 1) \cdot e^{-4} = -5 \cdot \underbrace {e^{-4}}_{>0} < 0%%,

sowie

%%f''(1) = (1^2+5 \cdot 1-1) \cdot e^{1} = (1 + 5 - 1) \cdot e = 5 \cdot \underbrace {e}_{>0} > 0%%.

Du siehst nun, dass %%-4%% ein Hochpunkt und %%1%% ein Tiefpunkt von %%f%% ist. Da dies die einzigen Nullstellen der ersten Ableitung von %%f%% sind, kann %%f%% keine weiteren Hoch- oder Tiefpunkte haben.