Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen und Extrema der folgenden Funktion:

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%.

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

%%e^{2x}-5=0%%

%%\mid +5%%

%%e^{2x}=5%%

Wende den Logarithmus an.

%%2x=\ln(5)%%

%%\mid\,:2%%

%%x=\frac{\ln(5)}{2}%%

Damit ist der maximale Definitionsbereich %%D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\ln(5)}2\right\}%%.

Nullstellenbestimmung

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

%%e^x-4=0%%

%%\mid +4%%

%%e^x=4%%

Wende den Logarithmus an.

%%x=\ln(4)%%

Die einzige Nullstelle ist %%(\ln(4) \mid 0)%%.

Ableitungen

1. Ableitung

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

%%u'=e^x,\;v'=2e^{2x}%%

Wende die Quotientenregel an.

%%f'\left(x\right)=\frac{e^x\cdot\left(e^{2x}-5\right)-2e^{2x}\cdot\left(e^x-4\right)}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Löse die Klammern auf.

%%\phantom{f'(x)}=\frac{e^{3x}-5e^x-2e^{3x}+8e^{2x}}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Fasse gleiche Elemente zusammen.

%%\phantom{f'(x)}=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

2. Ableitung

%%f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Berechne die Ableitung von Zähler (%%u'%%) und Nenner (%%v'%%).

%%u'=-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x,\;v'=\left(e^{2x}-5\right)\cdot2\cdot2e^{2x}%%

Wende die Quotientenregel an.

%%f''(x)=\frac{(-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x)\cdot(e^{2x}-5)^2-(e^{2x}-5)\cdot 2 \cdot 2e^{2x}\cdot(-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x)}{(e^{2x}-5)^4}%%

Kürze  mit %%\left(e^{2x}-5\right)%% .

%%\phantom{f''(x)}=\frac{\left(-3 e^{3 x}+16 e^{2 x}-5 e^ x\right)\cdot\left( e^{2 x}-5\right)-2\cdot2 e^{2 x}\cdot\left(- e^{3 x}+8 e^{2 x}-5 e^ x\right)}{\left( e^{2 x}-5\right)^3}%%

Löse die Klammern auf.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{-3e^{5x}+16e^{4x}-5e^{3x}+15e^{3x}-80e^{2x}+25e^x+4e^{5x}-32e^{4x}+20e^{3x}}{\left(e^{2x}-5\right)^3}%%

Fasse gleiche Elemente zusammen.

%%\phantom{f''(x)}=\frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}%%

Extrema bestimmen

%%f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}%%

Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.

%%-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x=0%%

Substitution

%%u=e^x%%

%%-u^3+8u^2-5u=0%%

Klammere %%u%% aus.

%%u\cdot\left(-u^2+8u-5\right)=0%%

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

%%\;\;\Rightarrow\;\;u_1=0%%

Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

%%-u^2+8u-5=0%%

Wende die Mitternachtsformel an.

%%u_{2,3}=\frac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-5\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}%%

Unter der Wurzel subtrahieren .

%%\phantom{u_{2,3}}=\frac{-8\pm\sqrt{44}}{-2}%%

2 lässt sich aus der Wurzel ziehen.

%%\phantom{u_{2,3}}=\frac{-8\pm2\sqrt{11}}{-2}%%

%%u_2=\frac{-8+2\sqrt{11}}{-2}=4-\sqrt{11}%%

%%u_3=\frac{-8-2\sqrt{11}}{-2}=4+\sqrt{11}%%

Resubstitution

%%u_1=e^{x_1}%%

%%0=e^{x_1}%%

Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und %%x_1%% keine Nullstelle.

%%u_2=e^{x_2}%%

%%4-\sqrt{11}=e^{x_2}%%

Wende den Logarithmus an.

%%\ln\left(4-\sqrt{11}\right)=x_2%%

%%u_3=e^{x_3}%%

%%4+\sqrt{11}=e^{x_3}%%

Wende den Logarithmus an.

%%\ln(4+\sqrt{11})=x_3%%

%%y%%-Werte bestimmen

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

%%x_2%%  einsetzen.

%%f\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\right)=\frac{\mathrm e^{\ln\left(4-\sqrt{11}\right)}-4}{\mathrm e^{2\cdot\ln\left(4-\sqrt{11}\right)}-5}=\frac{4-\sqrt{11}-4}{\left(4-\sqrt{11}\right)^2-5}=\frac{-\sqrt{11}}{16-8\sqrt{11}+11-5}=\frac{-\sqrt{11}}{22-8\sqrt{11}}=\frac1{8-2\sqrt{11}}%%

%%\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.%%

Erster Extrempunkt

%%f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}%%

%%x_3%% einsetzen.

%%f\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\right)=\frac{ e^{\ln\left(4+\sqrt{11}\right)}-4}{ e^{2\cdot\ln\left(4+\sqrt{11}\right)}-5}=\frac{4+\sqrt{11}-4}{\left(4+\sqrt{11}\right)^2-5}=\frac{\sqrt{11}}{22+8\sqrt{11}}=\frac1{8+2\sqrt{11}}%%

%%\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)%%

Zweiter Extrempunkt

Art der Extrema bestimmen

%%f''\left(x\right)=\frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}%%

%%x_2%%  einsetzen.

Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle %%x_2%% ein Tiefpunkt vor.

%%\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.%%

%%f''\left(\ln(4+\sqrt{11})\right) = \frac{e^{5 \cdot \ln(4+\sqrt{11})} -16e^{4 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}+30e^{3 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}-80e^{2 \cdot \ln(4 + \sqrt{11})}+25e^{\ln(4+\sqrt{11})} }{(e^{2 \cdot \ln(4-\sqrt{11})} + 5)^3}%%

Die 2. Ableitung ist kleiner 0, da der Zähler kleiner und der Nenner größer 0 ist. Also liegt an der Stelle %%x_3%% ein Hochpunkt vor.

%%\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)%%