Aufgaben zur Diskussion von e-Funktionen

Definitionsbereich festlegen

Zunächst legst du den Defintionsbereich fest:

$\displaystyle f\left(x\right)=\dfrac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

$\displaystyle e^{2x}-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 5$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \ln(5)$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{\ln(5)}{2}$

Damit ist der maximale Definitionsbereich $D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\ln(5)}2\right\}$ .

Nullstellenbestimmung

Bestimme nun die Nullstellen von f:

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

$\displaystyle e^x-4$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +4$
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln(4)$

Die einzige Nullstelle ist $(\ln(4)\mid0)$ .

Ableitungen

Bilde die erste und zweite Ableitung von f:

1. Ableitung

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

$u'=e^x,\;v'=2e^{2x}$

Wende die Quotientenregel an.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{e^x\cdot\left(e^{2x}-5\right)-2e^{2x}\cdot\left(e^x-4\right)}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{e^{3x}-5e^x-2e^{3x}+8e^{2x}}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$

2. Ableitung

$\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$

Berechne die Ableitung von Zähler ( $u'$ ) und Nenner ( $v'$ ).

$u'=-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x,\;v'=\left(e^{2x}-5\right)\cdot2\cdot2e^{2x}$

Wende die Quotientenregel an.

$\displaystyle f''(x)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{(-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x)\cdot(e^{2x}-5)^2-(e^{2x}-5)\cdot2\cdot2e^{2x}\cdot(-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x)}{(e^{2x}-5)^4}$
	↓	Kürze mit $\left(e^{2x}-5\right)$ .
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{\left(-3 e^{3 x}+16 e^{2 x}-5 e^ x\right)\cdot\left( e^{2 x}-5\right)-2\cdot2 e^{2 x}\cdot\left(- e^{3 x}+8 e^{2 x}-5 e^ x\right)}{\left( e^{2 x}-5\right)^3}$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-3e^{5x}+16e^{4x}-5e^{3x}+15e^{3x}-80e^{2x}+25e^x+4e^{5x}-32e^{4x}+20e^{3x}}{\left(e^{2x}-5\right)^3}$
	↓	Fasse gleiche Elemente zusammen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}$

Extrema bestimmen

Nun werden die Extrema bestimmt:

$\displaystyle f'\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^2}$

Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.

$-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x=0$

Substitution

Verwende die Substitution.

$u=e^x$

$-u^3+8u^2-5u=0$

Klammere $u$ aus.

$u\cdot\left(-u^2+8u-5\right)=0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

$\;\;\Rightarrow\;\;u_1=0$

Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

$-u^2+8u-5=0$

Wende die Mitternachtsformel an.

$\displaystyle u_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-8\pm\sqrt{64-4\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-5\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}$
	↓	Unter der Wurzel subtrahieren .
	$=$	$\displaystyle \frac{-8\pm\sqrt{44}}{-2}$
	↓	2 lässt sich aus der Wurzel ziehen.
	$=$	$\displaystyle \frac{-8\pm2\sqrt{11}}{-2}$

$\phantom{u_{2{,}3}}$

$\displaystyle u_2=\frac{-8+2\sqrt{11}}{-2}=4-\sqrt{11}$

$\displaystyle u_3=\frac{-8-2\sqrt{11}}{-2}=4+\sqrt{11}$

Resubstitution

Verwende nun die Resubstitution:

$u_1=e^{x_1}$

$0=e^{x_1}$

Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und $x_1$ keine Nullstelle.

$u_2=e^{x_2}$

$4-\sqrt{11}=e^{x_2}$

Wende den Logarithmus an.

$\ln\left(4-\sqrt{11}\right)=x_2$

$u_3=e^{x_3}$

$4+\sqrt{11}=e^{x_3}$

Wende den Logarithmus an.

$\ln(4+\sqrt{11})=x_3$

$y$ -Werte bestimmen

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

$x_2$ einsetzen.

$\displaystyle f\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\right)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{\mathrm{e}^{\ln\left(4-\sqrt{11}\right)}-4}{\mathrm{e}^{2\cdot\ln\left(4-\sqrt{11}\right)}-5}=\frac{4-\sqrt{11}-4}{\left(4-\sqrt{11}\right)^2-5}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{-\sqrt{11}}{16-8\sqrt{11}+11-5}=\frac{-\sqrt{11}}{22-8\sqrt{11}}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{8-2\sqrt{11}}$

Erster Extrempunkt

$\left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.$

$\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}$

$x_3$ einsetzen.

$\displaystyle f\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\right)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{e^{\ln\left(4+\sqrt{11}\right)}-4}{e^{2\cdot\ln\left(4+\sqrt{11}\right)}-5}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{4+\sqrt{11}-4}{\left(4+\sqrt{11}\right)^2-5}=\frac{\sqrt{11}}{22+8\sqrt{11}}$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle \frac{1}{8+2\sqrt{11}}$

Zweiter Extrempunkt

$\left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)$

Art der Extrema bestimmen

$f''\left(x\right)= \displaystyle \frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{\left(e^{2x}-5\right)^3}$

Setze $x_2$ ein.

$\Rightarrow \left(\ln\left(4-\sqrt{11}\right)\ \left|\ \displaystyle \frac1{8-2\sqrt{11}}\right)\right.$

Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle $x_2$ ein Tiefpunkt vor.

$f''\left(\ln(4+\sqrt{11})\right) = \displaystyle \frac{e^{5 \cdot \ln(4+\sqrt{11})}-16e^{4 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}+30e^{3 \cdot \ln(4 +\sqrt{11})}-80e^{2 \cdot \ln(4 + \sqrt{11})}+25e^{\ln(4+\sqrt{11})}}{(e^{2 \cdot \ln(4-\sqrt{11})} + 5)^3}$

$\Rightarrow \left(\ln\left(4+\sqrt{11}\right)\ \left|\ \frac1{8+2\sqrt{11}}\right.\right)$

Die 2. Ableitung ist kleiner 0, da der Zähler kleiner und der Nenner größer 0 ist. Also liegt an der Stelle $x_3$ ein Hochpunkt vor.

Definitionsbereich festlegen

Nullstellenbestimmung

Ableitungen

1. Ableitung

2. Ableitung

Extrema bestimmen

Substitution

Resubstitution

yyy-Werte bestimmen

Art der Extrema bestimmen

$y$ -Werte bestimmen