Zunächst legst du den Defintionsbereich fest:

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}}\backslash displaystyle\; f\backslash left(x\backslash right)=\backslash dfrac\{e^x-4\}\{e^\{2x\}-5\}$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

Damit ist der maximale Definitionsbereich $D_f=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\ln (5)}{2}\right\}D\_f=\backslash mathbb\{R\}\backslash setminus\backslash left\backslash \{\backslash frac\{\backslash ln(5)\}2\backslash right\backslash \}$.

Nullstellenbestimmung

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}}\backslash displaystyle\; f\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{e^x-4\}\{e^\{2x\}-5\}$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

Die einzige Nullstelle ist $(\ln (4)\mid 0)(\backslash ln(4)\backslash mid0)$.$$

Ableitungen

Bilde die erste und zweite Ableitung von f:

1. Ableitung

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}}\backslash displaystyle\; f\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{e^x-4\}\{e^\{2x\}-5\}$

$u^{\mathrm{\prime }}=e^x,v^{\mathrm{\prime }}=2e^{2x}u\text{'}=e^x,\backslash ;v\text{'}=2e^\{2x\}$

Wende die Quotientenregel an.

2. Ableitung

${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{{(e^{2x}-5)}^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{-e^\{3x\}+8e^\{2x\}-5e^x\}\{\backslash left(e^\{2x\}-5\backslash right)^2\}$

Berechne die Ableitung von Zähler ($u^{\mathrm{\prime }}u\text{'}$) und Nenner ($v^{\mathrm{\prime }}v\text{'}$).

$u^{\mathrm{\prime }}=-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x,v^{\mathrm{\prime }}=(e^{2x}-5)\cdot 2\cdot 2e^{2x}u\text{'}=-3e^\{3x\}+16e^\{2x\}-5e^x,\backslash ;v\text{'}=\backslash left(e^\{2x\}-5\backslash right)\backslash cdot2\backslash cdot2e^\{2x\}$

Wende die Quotientenregel an.

${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{{(e^{2x}-5)}^2}}\backslash displaystyle\; f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{-e^\{3x\}+8e^\{2x\}-5e^x\}\{\backslash left(e^\{2x\}-5\backslash right)^2\}$

Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.

$-u^3+8u^2-5u=0-u^3+8u^2-5u=0$

Klammere $uu$ aus.

$u\cdot (-u^2+8u-5)=0u\backslash cdot\backslash left(-u^2+8u-5\backslash right)=0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

$\Rightarrow u_1=0\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;u\_1=0$

Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

$-u^2+8u-5=0-u^2+8u-5=0$

Wende die Mitternachtsformel an.

$0=e^{x_1}0=e^\{x\_1\}$

Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und $x_{1}x\_1$ keine Nullstelle.

$4-\sqrt{11}=e^{x_2}4-\backslash sqrt\{11\}=e^\{x\_2\}$

Wende den Logarithmus an.

$4+\sqrt{11}=e^{x_3}4+\backslash sqrt\{11\}=e^\{x\_3\}$

Wende den Logarithmus an.

$yy$-Werte bestimmen

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}}\backslash displaystyle\; f\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{e^x-4\}\{e^\{2x\}-5\}$

$x_{2}x\_2$  einsetzen.

$(\ln (4-\sqrt{11})\mid \frac{1}{8-2\sqrt{11}})\backslash left(\backslash ln\backslash left(4-\backslash sqrt\{11\}\backslash right)\backslash \; \backslash left|\backslash \; \backslash frac1\{8-2\backslash sqrt\{11\}\}\backslash right)\backslash right.$

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}}\backslash displaystyle\; f\backslash left(x\backslash right)=\backslash frac\{e^x-4\}\{e^\{2x\}-5\}$

$x_{3}x\_3$ einsetzen.

$(\ln (4+\sqrt{11})\mid \frac{1}{8+2\sqrt{11}})\backslash left(\backslash ln\backslash left(4+\backslash sqrt\{11\}\backslash right)\backslash \; \backslash left|\backslash \; \backslash frac1\{8+2\backslash sqrt\{11\}\}\backslash right.\backslash right)$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\left(x\right)={\displaystyle \frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{{(e^{2x}-5)}^3}}f\text{'}\text{'}\backslash left(x\backslash right)=\; \backslash displaystyle\; \backslash frac\{e^\{5x\}-16e^\{4x\}+30e^\{3x\}-80e^\{2x\}+25e^x\}\{\backslash left(e^\{2x\}-5\backslash right)^3\}$

Setze $x_{2}x\_2$ ein.

$\Rightarrow (\ln (4-\sqrt{11})\mid {\displaystyle \frac{1}{8-2\sqrt{11}}})\backslash Rightarrow\; \backslash left(\backslash ln\backslash left(4-\backslash sqrt\{11\}\backslash right)\backslash \; \backslash left|\backslash \; \backslash displaystyle\; \backslash frac1\{8-2\backslash sqrt\{11\}\}\backslash right)\backslash right.$

Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle $x_{2}x\_2$ ein Tiefpunkt vor.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(\ln (4+\sqrt{11}))={\displaystyle \frac{e^{5\cdot \ln (4+\sqrt{11})}-16e^{4\cdot \ln (4+\sqrt{11})}+30e^{3\cdot \ln (4+\sqrt{11})}-80e^{2\cdot \ln (4+\sqrt{11})}+25e^{\ln (4+\sqrt{11})}}{(e^{2\cdot \ln (4-\sqrt{11})}+5{)}^3}}f\text{'}\text{'}\backslash left(\backslash ln(4+\backslash sqrt\{11\})\backslash right)\; =\; \backslash displaystyle\; \backslash frac\{e^\{5\; \backslash cdot\; \backslash ln(4+\backslash sqrt\{11\})\}-16e^\{4\; \backslash cdot\; \backslash ln(4\; +\backslash sqrt\{11\})\}+30e^\{3\; \backslash cdot\; \backslash ln(4\; +\backslash sqrt\{11\})\}-80e^\{2\; \backslash cdot\; \backslash ln(4\; +\; \backslash sqrt\{11\})\}+25e^\{\backslash ln(4+\backslash sqrt\{11\})\}\}\{(e^\{2\; \backslash cdot\; \backslash ln(4-\backslash sqrt\{11\})\}\; +\; 5)^3\}$