Zunächst legst du den Defintionsbereich fest:

$${\displaystyle f\left(x\right)={\displaystyle \frac{e^x-4}{e^{2x}-5}}}$$

Setze den Nenner der Funktion gleich 0.

Damit ist der maximale Definitionsbereich $D_f=ℝ\setminus \left\{\frac{\ln (5)}{2}\right\}$.

Nullstellenbestimmung

$${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}}$$

Setze den Zähler der Funktion gleich 0.

Die einzige Nullstelle ist $(\ln (4)|0)$.$$

Ableitungen

Bilde die erste und zweite Ableitung von f:

1. Ableitung

$${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}}$$

$u^{\prime }=e^x,v^{\prime }=2e^{2x}$

Wende die Quotientenregel an.

2. Ableitung

$${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{{(e^{2x}-5)}^2}}$$

Berechne die Ableitung von Zähler ($u^{\prime }$) und Nenner ($v^{\prime }$).

$u^{\prime }=-3e^{3x}+16e^{2x}-5e^x,v^{\prime }=(e^{2x}-5)\cdot 2\cdot 2e^{2x}$

Wende die Quotientenregel an.

$${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-e^{3x}+8e^{2x}-5e^x}{{(e^{2x}-5)}^2}}$$

Es wird nur der Zähler der 1. Ableitung gleich 0 gesetzt, da ein Bruch 0 wird, wenn der Zähler 0 wird.

$-u^3+8u^2-5u=0$

Klammere $u$ aus.

$u\cdot (-u^2+8u-5)=0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.

$\Rightarrow u_1=0$

Für weitere Extrema wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

$-u^2+8u-5=0$

Wende die Mitternachtsformel an.

$0=e^{x_1}$

Die Exponentialfunktion ist immer größer als 0. Die Gleichung ist daher nicht lösbar und $x_1$ keine Nullstelle.

$4-\sqrt{11}=e^{x_2}$

Wende den Logarithmus an.

$4+\sqrt{11}=e^{x_3}$

Wende den Logarithmus an.

$y$-Werte bestimmen

$${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}}$$

$x_2$  einsetzen.

$(\ln (4-\sqrt{11})\left|\frac{1}{8-2\sqrt{11}}\right)$

$${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{e^x-4}{e^{2x}-5}}$$

$x_3$ einsetzen.

$\left(\ln (4+\sqrt{11})|\frac{1}{8+2\sqrt{11}}\right)$

$$f^{\prime \prime }\left(x\right)={\displaystyle \frac{e^{5x}-16e^{4x}+30e^{3x}-80e^{2x}+25e^x}{{(e^{2x}-5)}^3}}$$

Setze $x_2$ ein.

$$\Rightarrow (\ln (4-\sqrt{11})\left|{\displaystyle \frac{1}{8-2\sqrt{11}}}\right)$$

Die 2. Ableitung ist größer 0, da Zähler und Nenner beide kleiner 0 sind. Also liegt an der Stelle $x_2$ ein Tiefpunkt vor.

$$f^{\prime \prime }(\ln (4+\sqrt{11}))={\displaystyle \frac{e^{5\cdot \ln (4+\sqrt{11})}-16e^{4\cdot \ln (4+\sqrt{11})}+30e^{3\cdot \ln (4+\sqrt{11})}-80e^{2\cdot \ln (4+\sqrt{11})}+25e^{\ln (4+\sqrt{11})}}{(e^{2\cdot \ln (4-\sqrt{11})}+5{)}^3}}$$