Aufgaben

Finde die passenden Gleichungen zu den Funktionsgraphen:

Graph1

Die Ruhelage der Funktion liegt auf der %%x%%-Achse

Lösungsteil1

Der Graph schneidet das Koordinatensystem im Nullpunkt, also handelt es sich um eine Sinusfunktion (beziehungsweise einen verschobenen Kosinus).

Lösungsteil2

Da es leichter ist, verwendest du in den weiteren Schritten die Sinusfunktion.

Im nächsten Schritt suchst du nach der Amplitude der Funktion.

Die Amplitude der Funktion ist %%3%%. Das heißt, dass die Funktion vorerst von der Form %%f(x)=3\cdot\sin(x)%% ist.

Lösungsteil3

Jetzt fehlt dir nur noch die Periode der Funktion. Am Graphen kannst du ablesen, dass diese %%2\pi%% beträgt. Das ist die normale Periode von der Sinusfunktion.

Da die Periode der Sinusfunktion nicht verändert wurde, lautet die Funktion:

$$f(x)=3\cdot\sin(x).$$

Lösungsteil4

Graph2

Bestimme zunächst die Ruhelage der Funktion.

Die Ruhelage der Funktion liegt %%3%% Einheiten über der %%x%%-Achse.

Lösungsteil1

Der Graph hat ein Extremum (E) auf der %%y%%-Achse. Das heißt, es handelt sich um eine Kosinusfunktion (beziehungsweise eine verschobene Sinusfunktion).

Da es leichter ist, beschränken wir uns hier auf die Kosinusfunktion.

Aufgrund der bisherigen Erkenntnisse gehen wir zunächst von folgender Form aus: $$g(x)=\cos(x)+3$$

Lösungsteil2

Als nächsten Schritt betrachten wir die Amplitude der gegeben Kosinusfunktion. Dazu müssen wir den Abstand eines Extremums zu der Ruhelage herausfinden.

Die Amplitude der Funktion hat den Wert %%2%%. Das heißt, sie ist doppelt so groß wie bei der normalen Sinusfunktion. Daraus ergibt sich die vorläufige Form der Funktion: $$g(x)=2\cdot\cos(x)+3$$

Lösungsteil3

Als nächstes untersuchst du die Periode der Funktion. Dazu untersuchst du wie viele Perioden der gegebenen Funktion in dem Intervall %%[0,\pi]%% liegen. Bei der normalen Kosinusfunktion liegt in diesem Intervall genau eine Periode. Hier sind es genau zwei Perioden, also ist die Funktion um den Faktor %%2%% gestaucht.

Da die Funktion um den Faktor %%2%% gestaucht ist, lautet die Funktion: $$g(x)=2\cdot\cos(2x)+3$$

Lösungsteil4

Graph3

Die Ruhelage der Funktion liegt bei %%y=2%%.

Lösungsteil1

Als nächstes findest du die Art der Funktion heraus. Handelt es sich bei der Funktion um einen Kosinus oder um einen Sinus?

Da die Funktion die %%y%%-Achse im selben Punkt schneidet wie die Ruhelage, also in %%S(0\mid 2),%% handelt es sich um eine Sinusfunktion (beziehungsweise um eine verschobene Kosinusfunktion). Da es die folgenden Schritte erleichtert nehmen wir an, dass es sich um eine Sinusfunktion handelt.

Die Funktion ist fürs Erste von der Form: $$h(x)=\sin(x)+2.$$

Lösungsteil2

Der nächste Schritt, den du machst, ist die Bestimmung der Amplitude.

Da die Extrema jeweils eine Einheit in %%y%%-Richtung von der Ruhelage entfernt sind, handelt es sich um die Standard-Sinus-Amplitude.

Da die Amplitude der normalen Amplitude der Sinusfunktion entspricht, bleibt es zunächst bei der Form der Funktion: $$h(x)=\sin(x)+2.$$

Lösungsteil3

Jetzt fehlt dir nur noch die Periode der Funktion.

Betrachte dazu zum Beispiel den %%x%%-Achsenabschnitt von %%0%% bis %%\pi%%. In diesem Abschnitt befinden sich %%2,5%% Perioden der Funktion. Da eine Periode der Standard-Sinus-Funktion von %%0%% bis %%2\pi%% geht, multiplizieren wir den Wert %%2,5%% mit %%2%%. Damit kommen wir auf den Stauchungsfaktor %%5%%.

Da die Funktion um den Faktor %%5%% gestaucht ist, lautet die passende Funktion zu dem Bild:

$$h(x)=\sin(5x)+2.$$

Lösungsteil4

Graph4

Die Ruhelage der Funktion entspricht der %%x%%-Achse.

Lösungsteil1

Als erstes findest du heraus, ob es sich um eine Sinusfunktion oder eine Kosinusfunktion handelt.

Die Funktion schneidet die %%y%%-Achse weder in einem Extrempunkt, noch im Nullpunkt. Betrachtest du aber die Parallele zur %%y%%-Achse durch die Stelle %%-1%% auf der %%x%%-Achse. Die Funktion schneidet in einem Maximum diese Parallele. Deshalb nehmen wir an, dass es sich um eine verschobene Kosinusfunktion handelt.

Da die Kosinusfunktion um eine Einheit nach links verschoben ist, lautet die vorläufige Funktion:

$$i(x)=\cos(x+1).$$

Lösungsteil2

Jetzt ermittelst du die Amplitude der Funktion.

Der Abstand der Extrema zu der Ruhelage hat den Wert %%1%%, also wird an der Amplitude der Funktion nichts geändert.

Die Amplitude in bei der Funktion nicht manipuliert.

Lösungsteil3

Als letztes fehlt dir nur noch die Periode der Funktion.

Dazu betrachten wir ein Intervall der Länge %%\pi%% das von %%-1%% nach rechts verläuft. In diesem Intervall befinden sich %%1,5%% Perioden der Funktion, also %%3%% in einem Intervall von %%2\pi%%. Da %%2\pi%% die Periode der Standard-Kosinus-Funktion ist, ist die Funktion um den Faktor %%3%% gestaucht.

Da die Funktion um den Faktor %%3%% gestaucht ist, lautet sie: $$i(x)=\cos(3(x+1)).$$

Lösungsteil4

Ordne folgendem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:

Graph

Leider falsch! Du denkst wahrscheinlich schon in die richtige Richtung, aber schaue dir noch einmal die Unterschiede der trigonometrischen Funktionen an.

Da solltest du noch einmal nachdenken. Die Funktionsgleichung hat leider so gar nichts mit dem Graphen zu tun!

Leider falsch! Du hast mit der Sinus-Funktion schon den richtigen Riecher. Allerdings ist mal %%12%% falsch. Schau mal, wie weit die Kurve auf der y-Achse ausschlägt.

Richtig! Der Nobelpreis ist ganz nah ;-)

Betrachtest du den Graphen der Funktion, siehst du gleich, dass es sich nicht um eine Kosinus-Funktion handeln kann, da die Kosinus-Funktion achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse ist und der Graph der gesuchten Funktion ist punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs. Deshalb kannst du direkt die Funktionen %%4\cdot\cos(x)%% und %%5\cdot\cos(x)%% ausschließen.

Graph

Bleiben also noch die beiden Sinus-Funktionen zur Auswahl. Betrachtest du die Funktion %%12\cdot\sin(x)%%, sollte dir auffallen, dass die Amplitude dieser Funktion sehr viel größer ist als die der gesuchten Funktion. Die Amplitude der Funktion %%12\cdot\sin(x)%% beträgt 12, da sie %%12%% mal so groß ist wie die der normalen Sinus-Funktion %%\sin(x)%%.

Die Amplitude des Graphen der gesuchten Funktion, beträgt %%4%%, also %%4%% mal so groß wie die der normalen Sinus-Funktion %%\sin(x)%%. Deshalb ist die gesuchte Funktion %%4\cdot\sin(x)%%

Graph

Ordne folgendem Graphen die richtige Funktionsgleichung zu:

Graph

Hm... Da solltest du dir dringend nochmal Gedanken machen! Die Eigenschaften des Sinus und die Verschiebung der Funktion stimmen beide nicht mit den Eigenschaften der gesuchten Funktion überein.

Leider falsch. Mit der Kosinus Funktion bist du schon auf dem richtigen Weg, aber betrachte doch noch einmal die Verschiebung der Ruhelage.

Falsch! Die Verschiebung der Ruhelage scheinst du verstanden zu haben, aber eine Sinusfunktion kann das hier leider nicht sein.

Richtig! Amplituden sind wohl dein Fachgebiet ;-)

Du siehst das der Graph der gesuchten Funktion achsensymmetrisch bezüglich der %%y%%-Achse ist. Nachdem die %%\sin(x)%%-Funktion punktsymmertrisch ist, kannst du direkt die Funtkionen %%3\cdot\sin(x)%% und %%3\cdot\sin(x)+2%% ausschließen.

Graph

Betrachtest du nun die Kosinus-Funktionen, musst du nach einer Funktion suchen, deren Ruhelage um %%2%% nach oben verschoben ist, weil die Mitte zwischen dem höchsten und niedrigsten Punktes der gesuchten Funktion %%(5+(-1)):2=2%% ist.

Außerdem muss die Amplitude der gesuchten Funktion %%3%% betragen, denn der größte Abstand zwischen Ruhelage und einem Funktionswert beträgt %%3%%. Wegen diesen beiden Eigenschaften kannst du direkt die Funktion %%3\cdot\cos(x)-3%% ausschließen, denn dort ist die Ruhelage bei %%y=-3%%. Die gesuchte Funktion ist also: %%3\cdot\cos(x)+2%%

Graph

Zeichne die Funktion %%f%% mit der Gleichung  %%f\left(x\right)=3\cdot\sin\left(\frac34(x-\mathrm\pi)\right)%% in ein Koordinatensystem.

Suche als Erstes den Startpunkt deines Graphen ,dieser liegt bei %%\mathrm\pi%%.

Jetzt musst du nur noch die Periode herausfinden. Diese wiederholt sich alle %%\frac68\mathrm\pi%%.

Nun kannst du die Sinusfunktion zeichnen,allerdings mit einer Amplitude von %%3%% statt von %%1%%.

Sinuskurve

Zeichne im Definitionsbereich %%\lbrack-\mathrm\pi,3\mathrm\pi\rbrack%% die manipulierte Sinusfunktion %%f(x)=2\cdot\sin(x-\frac{\mathrm\pi}2)-2%% und lies ihren Wertebereich, Nullstellen und Extremstelle ab.

Suche als Erstes den Startpunkt deiner Sinusfunktion.Dieser liegt auf der %%x-%%Achse bei %%+\frac{\mathrm\pi}2%% und auf der %%y-%%Achse bei %%-2%%. Zeichne von diesen Punkt eine Sinuskurve,allerdings mit mit der Höhe von %%2%% statt %%1%%. Danach musst du nur noch die gesuchten Werte ablesen:

Wertebereich:%%[1,-3]%%

Nullstellen:%%-\mathrm\pi,\mathrm\pi,3\mathrm\pi%%

Extremstellen:%%-\mathrm\pi,0;\mathrm\pi,2\mathrm\pi,3\mathrm\pi%%

Sinus

Zeichne im Definitionsbereich %%\lbrack0,\frac{5\mathrm\pi}2\rbrack%% die manipulierte Sinusfunktion %%f(x)=-\sin(x-\mathrm\pi)%% und lies ihren Wertebereich, Nullstellen und Extremstelle ab.

Suche als Erstes den Startpunkt deiner Sinusfunktion.Dieser liegt auf der x−Achse bei %%+\mathrm\pi%% und auf der y−Achse bei %%0%%. Zeichne von diesen Punkt eine Sinuskurve,allerdings ,durch das Minus vor der Funktion, genau umgekehrt.Also zeichne die Sinuskurve als Erstes nach unten. Danach musst du nur noch die gesuchten Werte ablesen:

Wertebereich: %%\lbrack1,-1\rbrack%%

Nullstellen: %%0,\mathrm\pi,2\mathrm\pi%%

Extremstellen: %%\frac{\mathrm\pi}2,\frac{3\mathrm\pi}2,\frac{5\mathrm\pi}2%%

Sinuskurve

Notiere eine Wertetabelle, zeichne den Graphen und beobachte, wie sich jeweils der Graph im Vergleich zur Funktonsgleichung  %%y=\cos\left(x\right)%%  ändert.

%%y=\cos\left(x+\frac\pi2\right)%% . Formuliere: " %%+\frac{\mathrm\pi}2%% " beim %%x%%-Wert bewirkt...

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