Bei manchen Funktionen wiederholen sich die Funktionswerte in regelmäßigen Abschnitten. Ist dies der Fall, so bezeichnet man die Länge des kürzesten solchen Abschnitts als die Periode der Funktion.

Dieser Artikel behandelt die Periode einer Funktion . Die Periode eines Bruchs findest du hier: Artikel zum Thema

Beispiel

Ein Beispiel einer periodischen Funktion ist die Sinusfunktion.

Sinus

An dem Graphen erkennt man (auch anhand der Farben), dass sich %%\sin(x)%% im Abstand von %%2\mathrm\pi%% wiederholt. Das heißt, die Sinusfunktion besitzt die Periode %%2 \pi%%.

Startet man an einer beliebigen Stelle %%x%%, kann man beliebig oft %%2\pi%% addieren/subtrahieren und der Funktionswert des Sinus bleibt derselbe. Zum Beispiel:

%%\sin(0)=\sin(4\pi)=\sin(-2\pi)%%

%%\sin(1)=\sin(1+2\pi)=\sin(1+24\pi)%%

Das selbe gilt auch für die Kosinusfunktion.

Übungsaufgabe

Formel

Falls eine Funktion %%f%% die Periode %%p%% besitzt, dann gilt

%%f\left( x\right)= f\left( x+ p\right)= f\left( x+2 p\right)=f (x+3p)=~…%%

und %%~f(x)=f(x-p)=f(x-2p)=f(x-3p)=~…%%

Hieran erkennt man, dass man zu jedem %%x%% ein Vielfaches der Periode %%p%% addieren/subtrahieren kann und der Funktionswert bleibt dabei derselbe.

Eigenschaften

  • Die verschobenen und gestreckten Sinus- und Kosinusfunktionen können durch %%a \cdot \sin\left(b\cdot (x+c)\right)+d%% und %%a \cdot \cos\left(b\cdot (x+c)\right)+d%% dargestellt werden. Sie besitzen jeweils die Periode %%p=\frac{2\pi}{|b|}%%.

  • Eine Funktion mit Periode %%p%% wiederholt sich ebenfalls auch alle %%2p, 3p ,\dots%%. Als Periode bezeichnet man aber den kleinsten Wert mit dieser Eigenschaft.

  • Besitzt eine Funktion die Periode %%p%%, dann spricht man davon, dass die Funktion %%p%%-periodisch ist.  

  • Man sagt, der Graph einer periodischen Funktion ist verschiebungssymmetrisch mit ihrer Periode.

  • Addiert man zwei Funktionen mit verschiedenen Perioden, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Perioden die Periode der neuen Funktion.

  • Den Kehrwert der Periode, also %%\frac1{ p}%%, nennt man auch Frequenz.

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Zu article Periode (einer Funktion): Merkwürdiger Anfangssatz
Renate 2016-07-26 11:42:56
An der Beispielgraphik erkennt man, glaube ich, gut, was mit "Periode" einer Funktion gemeint ist - vielen Dank dafür.
Aber den Anfangssatz finde ich sonderbar : "Die Periode einer Funktion ist der kleinste positive Abstand, innerhalb dessen sich die Funktion wiederholt."
Wieso POSITIVER Abstand? (Gibt es auch einen negativen?) Und wieso eigentlich "Abstand"?

Vorschlag:
"Wenn eine Funktion sich regelmäßig wiederholt, dann nennt man die Länge des Abschnitts, der immer wieder durchlaufen wird, die PERIODE der Funktion".

Was haltet ihr davon? Oder ist euch das zu umgangssprachlich?

Gruß
Renate
SebSoGa 2016-08-02 09:01:18
Hallo Renate,
ich habe mich an deinem Vorschlag orientiert und den Einleitungssatz umgeschrieben. Mir hat jedoch die Formulierung "immer wieder durchlaufen" nicht gut gefallen. Was hältst du von meinem Vorschlag?

Liebe Grüße
Sebastian
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