Wenn zwei Ebenen identisch sind, oder eine Schnittgerade haben (sich schneiden), ist der Abstand zwischen den Ebenen %%0%%.

Der einzige Fall, bei dem der Abstand nicht Null und somit sinnvoll ist, ist wenn die beiden Ebenen echt parallel sind. In diesem Fall haben sie überall den gleichen Abstand.

Allgemeine Berechnung

Im Folgenden werden zwei verschiedene Wege zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Ebenen vorgestellt. Beide Methoden sind nur sinnvoll, wenn die beiden gegebenen Ebenen parallel sind. Es muss also erst die Lagebeziehung der beiden Ebenen geprüft werden.

Berechnung mit der Hesse-Normalform

Gegeben sind zwei parallele Ebenen %%{\mathrm E}_1%% und %%{\mathrm E}_2%% in Parameter- bzw. Koordinatenform.

  1. Hesse-Normalform von einer der Ebenen bestimmen (z. B. von %%{\mathrm E}_1%% ).

  2. Einen beliebigen Punkt auf %%{\mathrm E}_2%% wählen.

  3. Punkt in die Hesse-Normalform von %%{\mathrm E}_1%% einsetzen und so den Abstand des Punktes zu %%{\mathrm E}_1%% berechnen.

Der so berechnete Abstand entspricht dem Abstand der beiden Ebenen, da bei parallelen Ebenen jeder Punkt auf der einen Ebene den gleichen Abstand zur anderen Ebene hat.

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Beispiel

Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen %%{\mathrm E}_1:\;\;2{ x}_1-{ x}_2-2{ x}_3=6%% und %%{ E}_2:\;-{ x}_1+0,5{ x}_2+{ x}_3=6%% in Koordinatenform.

Bestimmung des Abstandes mit der Hesse-Normalform

  1. Hesse-Normalform bestimmen:
    %%\vec{n}=\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}%% , %%\left|\vec n\right|=\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2+\left(-2\right)^2}=\sqrt9=3%%
    %%\Rightarrow\;\;\mathrm{HNF\ E_1}:\;\;\frac{2 x_1- x_2-2 x_3-6}3=0%%

  2. Punkt auf %%{\mathrm E}_2%% wählen: %%\vec P=\begin{pmatrix}0\\0\\6\end{pmatrix}%%

  3. Punkt in Hesse-Normalform einsetzen:
    %%d\left(E_1,E_2\right)=\left|\frac{2\cdot0-0-2\cdot6-6}3\right|=\left|-6\right|=6%%

Berechnung mit einer Hilfsgerade

Gegeben sind die zwei parallele Ebenen

%%\mathrm E\colon\ \vec n\cdot\left[\vec x-\vec a_1\right]=0%% und %%\mathrm F\colon\ \vec x=\vec a_2 + r\cdot\vec u + s\cdot\vec v%% .

Es muss also eine Ebene in Normalenform gegeben sein, oder in diese umgeformt werden.

  1. Hilfsgerade %%h%% bestimmen, die durch den Punkt %%{\mathrm A}_2%% (Stützpunkt von %%F%%) und senkrecht zur Ebene %%\mathrm E%% liegt.
    %%\Rightarrow\ h\colon\;\vec x = \vec a_2 + r\cdot\vec n%%

  2. Schnittpunkt %%\mathrm S%% der Hilfsgeraden %%h%% mit der Ebene %%\mathrm E%% bestimmen.

  3. Abstand von %%\mathrm S%% und %%{\mathrm A}_2%% berechnen.

Auch hier entspricht dieser Abstand dem Abstand der beiden Ebenen.

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Beispiel

Gegeben sind die zwei parallelen Ebenen %%{\mathrm E}_1\colon\;\;\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\cdot\left[\overrightarrow x-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0%% und %%{\mathrm E}_2\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}+ s\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}%%.

Bestimmung des Abstandes mit einer Hilfsgeraden

  1. Hilfsgerade bestimmen:
    %%h:\;\vec x=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}%%

  2. Schnittpunkt %%S%% bestimmen:
    %%\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\cdot\left[\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\right]=0%%
    %%\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}\cdot\left[\begin{pmatrix}1-2r\\3+3r\\6r\end{pmatrix}\right]=0%% (Berechne das Skalarprodukt)

    %%\Rightarrow\;\;(-2)\cdot(1-2r)+3\cdot(3+3r)+6\cdot6r=0%%

    %%\Rightarrow\;\;49\cdot r +7=0%%

    %%\Rightarrow\;\; r=-\frac17%%
    %%\Rightarrow\;\vec S=\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}+\left(-\frac17\right)\begin{pmatrix}-2\\3\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac97\\\frac{25}7\\\frac87\end{pmatrix}%%

  3. Abstand von S und A berechnen:
    %%\vec S-\vec A=\begin{pmatrix}\frac97\\\frac{25}7\\\frac87\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac27\\-\frac37\\-\frac{6}7\end{pmatrix}%%

    %%d=\sqrt{\left(\vec S-\vec A\right)^2}=\frac{1}7 \sqrt{4+9+36} =1%%

Kommentieren Kommentare

claramw 2017-02-10 15:27:55
Wie kommt man denn auf r=1/7 Ich dachte, man rechnet r aus, in dem man die Gleichung gleichsetzt (und da steht ja =0 dahinter) Dann müsste doch -2*(1-r*-2-0)=0 sein, oder nicht? weil das ist es nicht mit r=1/7 und wenn ich die zeilen gleich 0 setze, wie es da oben steht, kommen bei mir verschiedene r raus, einmal 1/2 und einmal 1 und so. ich bin total aufgeschmissen :o hab ich irgendwas übersehen? wie kommt man denn auf r? die zeilen müssten doch alle 0 ergeben, damit man ein gemeinsames r hat...
Digamma 2017-02-10 20:18:38
Der Punkt vor der eckigen Klammer bezeichnet ein Skalarprodukt. Das sind keine drei zeilenweise Gleichungen, sondern beim Ausmultiplizieren des Skalarprodukts erhält man eine einzige Gleichung für r.
Nish 2017-02-10 21:12:07
@claramw: Ich habe eben paar Zwischenschritte hinzugefügt. Ich hoffe, dass es nun verständlicher ist. Den Begriff Skalarprodukt habe ich übrigens verlinkt, so dass du, falls du dich nicht mehr erinnerst, den zugehörigen Artikel mit Übungsaufgaben anschauen kannst. Falls es immer noch Probleme gibt, kannst du gerne nochmal nachfragen.
@Diagamma: Schön dich in der Community zu haben! Hat mich sehr gefreut, dass du von dir aus geantwortet hast!

LG und ein schönes Wochenende,
Nish
claramw 2017-02-11 12:39:48
ok alles klar, danke ! aber jetzt hab ich doch noch eine Frage: wie kommt man bei Schritt 2 beim Schnittpunkt ausrechnen auf die Gleichung? So wie ich das verstehe, setzt man in E1 die Hilfsgerade also x-> ein, oder? allerdings wundert mich nur, warum da plötzlich -r steht... wo kommt denn das - vor dem r her? danke!
claramw 2017-02-11 12:43:50
ich habe auf einer anderen seite gerade die gleiche aufgabe gefunden (http://ne.lo-net2.de/selbstlernmaterial/m/ag/ab/ab_ee_gw.pdf) , da wird es genauso gemacht, nur mit + r, das macht für mich mehr sinn... ist es vielleicht ein kleiner schreibfehler hier?
Nish 2017-02-12 18:08:17
@claramw: Danke für's Nachhaken! Es hat sich ein Schreib- bzw. Tippfehler eingeschlichen und ich hab's nicht bemerkt... Beim Einsetzen von h in E1, sollte natürlich +r stehen und dann erhält man auch für r= %%-\frac17%% raus. Ich hab's eben ausgebessert.
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