Aufgaben

Bestimme die Determinante folgender Vektoren

%%\vec v = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\,%% und %%\,\vec w = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}%%

Determinante bestimmen

Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel

%%\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}%%

Einsetzen der Vektoren %%\vec v = \begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}\,%% und %%\,\vec w = \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\,%% ergibt:

%%\,\begin{vmatrix}3&2\\4&5\end{vmatrix} = 3\cdot5 - 2\cdot 4 = 7%%

Dabei wird die Reihenfolge (erster Vektor entgegen dem Uhrzeigersinn) beachtet.

%%\vec v = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}-8\\3\end{pmatrix}%%

Determinante bestimmen

Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel

%%\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}%%

Einsetzen der Vektoren %%\vec v = \begin{pmatrix}-2\\7\end{pmatrix}\,%% und %%\,\vec w = \begin{pmatrix}-8\\3\end{pmatrix}%% ergibt, wenn man die Reihenfolge (erster Vektor gegen dem Uhrzeigersinn) beachtet:

%%\,\begin{vmatrix}-2&-8\\7&3\end{vmatrix} = (-2)\cdot 3 - (-8)\cdot 7 = 50%%

%%\vec v = \begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}\,%% und %%\,\vec w = \begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}%%

Determinante bestimmen

Allgemein bestimmt man die Determinante mit der Formel

%%\,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix} = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}%%

Einsetzen der Vektoren %%\vec v = \begin{pmatrix}0\\9\end{pmatrix}\,%% und %%\,\vec w = \begin{pmatrix}-2\\8\end{pmatrix}%% ergibt, wenn man die Reihenfolge (erster Vektor gegen dem Uhrzeigersinn) beachtet:

%%\,\begin{vmatrix}0&-2\\9&8\end{vmatrix} = 0\cdot8 - (-2)\cdot 9 = 18%%

Berechne die folgenden Determinante mit der Regel von Sarrus.

%%A=\begin{pmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{pmatrix}%%

Regel von Sarrus                                                                                          Artikel zum Thema

 

%%A=\begin{pmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{pmatrix}%%

 

Schreibe neben die Determinante die ersten beiden Vektoren noch einmal daneben, damit die Regel von Sarrus verwendet werden kann.

%%\;\;\Rightarrow\;\;detA=\begin{vmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{vmatrix}\begin{array}{cc}0&1\\3&2\\1&1\end{array}%%

 

Bilde Diaoganlen von links nach rechts und bilde damit eine Summe und Subdrahiere die Diagonalen von rechts nach links davon.

%%\begin{array}{l}=0\cdot2\cdot0+1\cdot1\cdot1+2\cdot3\cdot1-2\cdot2\cdot1-0\cdot1\cdot1-1\cdot3\cdot0\\=3\end{array}%%

 

 

%%\mathrm B=\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b&\mathrm c\\\mathrm d&\mathrm e&\mathrm f\\\mathrm g&\mathrm h&\mathrm i\end{pmatrix}%%

Regel von Sarrus                                                      Artikel zum Thema

 

%%\mathrm B=\begin{pmatrix}\mathrm a&\mathrm b&\mathrm c\\\mathrm d&\mathrm e&\mathrm f\\\mathrm g&\mathrm h&\mathrm i\end{pmatrix}%%

 

Schreibe neben die Determinante die ersten beiden Vektoren noch einmal daneben, damit die Regel von Sarrus verwendet werden kann.

%%detB=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\begin{array}{cc}a&b\\d&e\\g&h\end{array}%%

 

Bilde Diaoganlen von links nach rechts und bilde damit eine Summe und Subdrahiere davon die Diagonalen von rechts nach links.

%%=\mathrm{aei}+\mathrm{bfg}+\mathrm{cdh}-\mathrm{ceg}-\mathrm{afh}-\mathrm{bdi}%%

 

 

Berechne die Determinante mit dem Laplace´schen Entwicklungssatz.

%%A=\begin{pmatrix}1&4&3&2\\2&1&4&3\\3&2&1&4\\4&3&2&1\end{pmatrix}%%

Laplace'scher Entwicklungssatz                                                                                     Artikel zum Thema

 

%%\mathrm{detA}=\begin{vmatrix}1&4&3&2\\2&1&4&3\\3&2&1&4\\4&3&2&1\end{vmatrix}%%

 

 Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen.

%%=1\begin{vmatrix}1&4&3\\2&1&4\\3&2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}4&3&2\\2&1&4\\3&2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}4&3&2\\1&4&3\\3&2&1\end{vmatrix}-4\begin{vmatrix}4&3&2\\1&4&3\\2&1&4\end{vmatrix}%%

 

Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Mtrizen die erste Spalte aus und Entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix.

%%\begin{array}{l}=1(1\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}4&3\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}4&3\\1&4\end{vmatrix})-2(4\begin{vmatrix}1&4\\2&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix})\\+3(4\begin{vmatrix}4&3\\2&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}3&2\\2&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}3&2\\4&3\end{vmatrix})-4(4\begin{vmatrix}4&3\\1&4\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}3&2\\4&3\end{vmatrix})\\\end{array}%%

 

Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.

%%\begin{array}{l}=(1-8)-2(4-6)+3(16-3)-8(1-8)+4(3-4)-6(12-2)\\+12(4-6)-3(3-4)+9(9-8)-16(16-3)+4(12-2)-8(9-8)\\=-7+4+39+56-4-60-24+3+9-208+40-8\\=-160\end{array}%%

 

%%B=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{pmatrix}%%

Laplace'scher Entwicklungssatz                                                                                                                     Artikel zum Thema

  

%%B=\begin{pmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{pmatrix}%%

 

 Wähle die erste Spalte aus und berechne über diese mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz die neuen 3x3 Matrizen. Die neuen Matrizen die mit dem Faktor 0 multipliziert werden, kann man dabei schon weglassen.

%%detB=\begin{vmatrix}0&1&2&3\\4&5&0&6\\7&0&8&9\\2&4&6&0\end{vmatrix}=-4\begin{vmatrix}1&2&3\\0&8&9\\4&6&0\end{vmatrix}+7\begin{vmatrix}1&2&3\\5&0&6\\4&6&0\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}1&2&3\\5&0&6\\0&8&9\end{vmatrix}%%

 

Wähle bei jeder dieser neuen 3x3 Mtrizen die erste Spalte aus und entwickle wieder neue 2x2 Matrizen aus jeder Matrix. Auch hier lassen sich die Matrizen mit Vorfaktor 0 wegstreichen.

%%=-4(1\begin{vmatrix}8&9\\6&0\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix})+7(1\begin{vmatrix}0&6\\6&0\end{vmatrix}-5\begin{vmatrix}2&3\\6&0\end{vmatrix}+4\begin{vmatrix}2&3\\0&6\end{vmatrix})-2(1\begin{vmatrix}0&6\\8&9\end{vmatrix}-5\begin{vmatrix}2&3\\8&9\end{vmatrix})%%

 

Berechne nun die 2x2 Matrizen und berechne bis zum Endergebniss.

%%\begin{array}{l}=-4(-54)-16(18-24)+7(-36)-35(-18)+28(12)-2(-48)+10(18-24)\\=216+96-252+630+336+96-60=1062\end{array}%%

 

Berechne die Determinante mit einem geeigneten Verfahren.

%%A=\begin{pmatrix}6&-4&-10&4\\-5&2&8&-5\\0&0&0&0\\2&-1&-4&7\end{pmatrix}%%

Wann ist eine Determinante Null?                                  Artikel zum Thema

%%A=\begin{pmatrix}6&-4&-10&4\\-5&2&8&-5\\0&0&0&0\\2&-1&-4&7\end{pmatrix}\begin{array}{c}\\\\\leftarrow\\\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}%%

Da die Determinante eine Reihe aus Nullen enthällt, ist der Wert Null.

%%\;\;\Rightarrow\;\;detA=0%%

%%\mathrm B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}%%

Determinante berechnen                                                       Artikel zum Thema

%%\mathrm B=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}%%

 

Löse die Determinante nach der 2x2 Formel

%%\mathrm{detB}=1\cdot4-2\cdot3=-2%%

 

 

%%\mathrm C=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&0\\0&0&0&0&0&6\end{pmatrix}%%

Diaognalmatrix berechnen                                                                    Artikel zum Thema

    

%%\mathrm C=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&0\\0&0&0&0&0&6\end{pmatrix}%%

 

Da C eine DIagonalmatrix ist, lässt sich diese Matrix ganz leicht durch Multiplikation der Diagonalwerte berechnen.

%%\mathrm{detC}=\begin{vmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&2&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&0\\0&0&0&0&0&6\end{vmatrix}=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6=\;6!=720%%

 

 

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