Je nach Größe der Matrix entscheidet man sich für den Laplace'schen Entwicklungssatz oder die Regel von Sarrus zur Berechnung der Determinante dieser Matrix.

2x2 Matrix: %%\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc%%

Nach Formel

3x3 Matrix:
$$\det\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\\ =aei+cdh+bfg-afh-bdi-ceg$$

Regel von Sarrus oder Laplace'sche Entwicklungssatz

Matrix größer als 3x3:

Nur noch Laplace'scher Entwicklungssatz möglich

Eigenschaften

%%\det(A)=0%%,  wenn…

…eine Zeile/Spalte aus Nullen besteht

…zwei Zeilen/Spalten gleich sind

…eine Zeile das Vielfache einer anderen Zeile ist

 

Weitere Rechenregeln

$$\det\left(A\right)= \begin{pmatrix} \lambda a_ {11} &\dots &\lambda a_ {n1}\\\ \vdots & & \vdots\\\ a _ {1n} & \cdots & a_ {nn} \end{pmatrix} =\lambda \begin{pmatrix} a _ {11} & \dots & a_ {n1}\\\ \vdots & & \vdots \\\ a _{1n} & \cdots & a _ {nn} \end{pmatrix}$$

$$\det\left(A\right)= \begin{pmatrix} \lambda_ 1a_ {11}&\dots&\lambda_ 1a_ {n1}\\\ \vdots&&\vdots\\\ \lambda_ na_ {1n}&\dots&\lambda_ na_ {nn} \end{pmatrix}\\\ =\lambda_ 1\cdot\ldots\cdot\lambda_ n \begin{pmatrix} a_ {11}&\dots&a_ {n1}\\\ \vdots&&\vdots\\\ a_ {1n}&\dots&a_ {nn} \end{pmatrix}$$

$$\det A=\begin{pmatrix} \lambda_1&\cdots&0\\\ \vdots&&\vdots\\\ 0&\dots&\lambda _n \end{pmatrix}\\\ =\lambda _ 1\cdot\dots\cdot\lambda _ n\cdot det{\mathrm E} _ n =\lambda _ 1\cdot\dots\cdot\lambda _ n$$

Regel von Sarrus (3x3 Matrizen)

Diese Regel gilt nur für  %%A\in{\mathrm{Mat}}_{3\times3}%%, also darf sie nur bei 3x3-Matrizen angewendet werden!

$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}$$

Man schreibt die erste und die zweite Spalte nochmal hinter die Matrix und bildet die Diagonalen:

Sarrus

Die Diagonalen von links nach rechts (im Bild rot) werden multipliziert und dann summiert.

Im Gegensatz dazu werden die Diagonalen von rechts nach links (hier grün) multipliziert und dann subtrahiert.

$$\Rightarrow \det A=a_{11}a_{22}a_{33}\;+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$$

Beispielaufgaben  

   

Laplace'scher Entwicklungssatz  (für alle nxn Matrizen)

Das Prinzip des Entwicklungssatzes ist es, die Determinante einer großen Matrix aus den Determinanten von mehreren kleineren Matrizen zu berechnen. Das bezeichnet man auch als entwickeln.

Hier kann man entscheiden, ob man eine Determinante nach den Spalten oder den Zeilen entwickelt.

%%\det A=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\cdot\det A_{ij}%%   Entwicklung nach der j-ten Spalte

%%\det A=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\cdot\det A_{ij}%%   Entwicklung nach der i-ten Zeile

Allgemein bedeutet dies nichts anderes als, dass man sich eine Spalte oder eine Zeile heraus sucht, über die man die neuen Determinanten entwickelt:

Zeile

 

 

%%\begin{vmatrix}\mathrm a&\mathrm b&\mathrm c\\\mathrm d&\mathrm e&\mathrm f\\\mathrm g&\mathrm h&\mathrm i\end{vmatrix}%%

Man sucht sich zunächst eine Zeile aus der Matrix aus. Hier zum Beispiel die erste Zeile.

Dann wendet man die Formel für die Entwicklung nach Zeilen an:

%%\det A=(-1)^{1+1}a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}+(-1)^{1+2}b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+(-1)^{1+3}c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}%%

Analog funktioniert dies auch bei den Spalten. Es ist egal, welche Spalte oder Zeile man sich aussucht.

Arbeitet man sehr oft damit, stellt man fest, dass sich dies leichter vorstellen lässt:

%%\left|\begin{array}{cccc}+&-&+&\cdots\\-&+&-&\cdots\\+&-&+&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\end{array}\right.%%

Egal wie groß die quadratische Matrix ist, die Vorzeichen lassen sich immer wie in der Abbildung weiter führen.

Man nimmt sich nun also eine Spalte oder eine Zeile. Nimmt den ersten Wert der Spalte / Zeile, wählt nach der Abbildung das Vorzeichen aus und multipliziert diesen Wert dann mit der Matrix, die dabei heraus kommt, wenn man die Spalte und Zeile ausstreicht, auf der sich der Wert befindet. Dies macht man mit allen Teilstücken der Zeile/Spalte und ist dann fertig.

Beispielrechnung  
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Zu article Determinanten berechnen: Entwicklungssatz von Laplace
SebSoGa 2016-07-21 13:36:59
An dem Abschnitt zu dem Laplaceschen Entwicklungssatz muss noch viel gearbeitet werden.
Es wird überhaupt nicht erwähnt:
- Was die Entwicklung nach einer Zeile / Spalte heißt
- Was die Matrizen A_ij sind
Es wird zwar versucht an dem "Beispiel" einer 3x3-Matrix zu erklären wie man da vorgehen soll, aber das Beispiel enthält keine Zahlen und wirkt daher eher abschreckend. Außerdem wird dann einfach die Formel hergenommen, und die 2x2-Matrizen stehen auf einmal da...

Ich weiß auch gar nicht ob Determinanten von Matrizen größer als 3x3 (oder Determinanten überhaupt ein Schulthema sind), aber der Entwicklungssatz von Laplace ist schon etwas schwieriges.

Mein Vorschlag: Die Determinante einer 3x3 Matrix Schritt für schritt mit mit diesem Satz zu entwickeln, dann erklären, dass man jede beliebige Zeile oder Spalte hätte nehmen können und aus diesem Vorgehen, die allgemeine Formeln und die Matrix mit dem + - Schachbrettmuster in einen Spoiler zu packen.
Damit würde der Artikel ziemlich lang werden, aber man könnte auch den allgemeinen Fall (oder den kompletten Satz) in einen anderen Artikel auslagern.

Was haltet ihr davon?

Liebe Grüße
Sebastian
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