Aufgaben

Gegeben sind die Punkte %%A(1|1)%%, %%B(7|1)%% und %%C(3|4)%% sowie die Vektoren %%\vec v = \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}%% und %%\vec w = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}%%.

Berechne jeweils die Länge der Vektoren %%\vec v%% und %%\vec w%%!

Betrag eines Vektors

geg.: %%\vec v = \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}%%

ges.: %%|\vec v|%%

Um die Länge (d. h. den Betrag) eines Vektors zu berechnen, bilde die Summe der Quadrate der Koordinaten und ziehe anschließend die Wurzel!

$$|\vec v| = \left|\pmatrix{1\\\sqrt{3}}\right| = \sqrt{1^2+\sqrt{3}^2} =$$ $$= \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$$

Verfahre beim Vektor %%\vec w%% genauso!

$$|\vec w| = \left|\pmatrix{2\\0}\right| = \sqrt{2^2+0^2} =$$ $$= \sqrt{4+0} = \sqrt{4} = 2$$

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren %%\vec v%% und %%\vec w%% sowie das Maß des (spitzen) Winkels %%\varphi%%, den sie einschließen!

Skalarprodukt zweier Vektoren

geg.: %%\vec v = \pmatrix{1\\\sqrt{3}}%%, %%\vec w = \pmatrix{2\\0}%%

ges.: %%\vec v \circ \vec w%%

Wende die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist, an!

$$\vec v \circ \vec w = \pmatrix{1\\\sqrt{3}} \circ \pmatrix{2\\0} =$$ $$= 1\cdot2 + \sqrt{3}\cdot0 = 2 + 0 = 2$$

Winkel zwischen den Vektoren

geg.: %%\vec v = \pmatrix{1\\\sqrt{3}}%%, %%\vec w = \pmatrix{2\\0}%%

ges.: %%\varphi = \sphericalangle(\vec v, \vec w)%%

Wende die Formel mit dem Skalarprodukt an und berechne %%cos(\varphi)%%!

(Das Skalarprodukt sowie die Längen von %%\vec v%% und %%\vec w%% hast du bereits berechnet.)

$$cos(\varphi) = \frac{\vec v \circ \vec w}{|\vec v|\cdot|\vec w|} = \frac{2}{2\cdot2} = \frac{1}{2}$$

Berechne nun mithilfe der inversen Kosinus-Funktion den Winkel %%\varphi%%!

$$\varphi = cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60°$$

Zeichne das Dreieck %%\triangle{ABC}%% und berechne seinen Flächeninhalt mithilfe der Determinante!

Zeichnen des Dreiecks

Dreieck ABC

Berechnen des Flächeninhalts

geg.: %%A(1|1)%%, %%B(7|1)%%, %%C(3|4)%%

ges.: %%F_{\triangle{ABC}}%%

Berechne zunächst die Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%%, die das Dreieck %%\triangle{ABC}%% aufspannen!

$$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{7-1\\1-1} = \pmatrix{6\\0}$$ $$\overrightarrow{AC} = \pmatrix{3-1\\4-1} = \pmatrix{2\\3}$$

Berechne nun die Determinante der Vektoren %%\overrightarrow{AB}%% und %%\overrightarrow{AC}%%! Achte dabei auf die richtige Reihenfolge der Vektoren (gegen den Uhrzeigersinn)!

$$\left|\overrightarrow{AB}\,\,\,\overrightarrow{AC}\right| = \begin{vmatrix}6&2\\0&3\end{vmatrix} = 6\cdot3 - 0\cdot2 =$$ $$= 18 - 0 = 18$$

Berechne schließlich den Flächeninhalt des Dreiecks %%\triangle{ABC}%% mithilfe der Determinanten-Formel!

$$F_{\triangle{ABC}} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\,\,\,\overrightarrow{AC}\right| = \frac{1}{2}\cdot18 = 9$$

Gegeben sind die Punkte %%P(3,5\vert2\vert5)%%, %%M\left(1\vert-2,5\vert0,5\right)%%, %%Q\left(-6\vert4\vert-0,5\right)%%.

  1. Berechne alle Seitenlängen des Dreicks PMQ.
  2. Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.
  3. Berechne alle Winkel des Dreicks PMQ.
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