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Gemischte Aufgaben

1 Aufgabengruppe

Gegeben sind die Punkte A(11)A(1|1), B(71)B(7|1) und C(34)C(3|4) sowie die Vektoren v=(13)\vec v = \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}\end{pmatrix} und w=(20)\vec w = \begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}.

Berechne jeweils die Länge der Vektoren v\vec v und w\vec w!

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Betrag eines Vektors

geg.: v=(13)\vec v = \begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}

ges.: v|\vec v|

Um die Länge (d. h. den Betrag) eines Vektors zu berechnen, bilde die Summe der Quadrate der Koordinaten und ziehe anschließend die Wurzel!

Verfahre beim Vektor w\vec w genauso!

Berechne das Skalarprodukt der Vektoren v\vec v und w\vec w sowie das Maß des (spitzen) Winkels φ\varphi, den sie einschließen!

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Skalarprodukt zweier Vektoren

geg.: v=\pmatrix13\vec v = \pmatrix{1\\\sqrt{3}}, w=\pmatrix20\vec w = \pmatrix{2\\0}

ges.: vw\vec v \circ \vec w

Wende die Formel, nach der das Skalarprodukt definiert ist, an!

Winkel zwischen den Vektoren

geg.: v=\pmatrix13\vec v = \pmatrix{1\\\sqrt{3}}, w=\pmatrix20\vec w = \pmatrix{2\\0}

ges.: φ=(v,w)\varphi = \sphericalangle(\vec v, \vec w)

Wende die Formel mit dem Skalarprodukt an und berechne cos(φ)cos(\varphi)!

(Das Skalarprodukt sowie die Längen von v\vec v und w\vec w hast du bereits berechnet.)

Berechne nun mithilfe der inversen Kosinus-Funktion den Winkel φ\varphi!

Zeichne das Dreieck ABC\triangle{ABC} und berechne seinen Flächeninhalt mithilfe der Determinante!

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Zeichnen des Dreiecks

Berechnen des Flächeninhalts

geg.: A(11)A(1|1), B(71)B(7|1), C(34)C(3|4)

ges.: FABCF_{\triangle{ABC}}

Berechne zunächst die Vektoren AB\overrightarrow{AB} und AC\overrightarrow{AC}, die das Dreieck ABC\triangle{ABC} aufspannen!

Berechne nun die Determinante der Vektoren AB\overrightarrow{AB} und AC\overrightarrow{AC}! Achte dabei auf die richtige Reihenfolge der Vektoren (gegen den Uhrzeigersinn)!

Berechne schließlich den Flächeninhalt des Dreiecks ABC\triangle{ABC} mithilfe der Determinanten-Formel!

2

Gegeben sind die Punkte P(3,525)P(3{,}5\mid2\mid5), M(12,50,5)M(1\mid-2{,}5\mid0{,}5), Q(640,5)Q(-6\mid4\mid-0{,}5).

  1. Berechne alle Seitenlängen des Dreiecks PMQPMQ.

  2. Prüfe, ob das Dreieck rechtwinklig ist.

  3. Berechne alle Winkel des Dreiecks PMQPMQ.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Skalarprodukt

In Arbeit

Teilaufgabe 1

PM=(13,52,520,55)=(2,54,54,5)\overrightarrow{PM}=\begin{pmatrix}1-3,5\\-2,5-2\\0,5-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2,5\\-4,5\\-4,5\end{pmatrix}

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3