Stellt man sich einen Vektor als einen Pfeil vor, so bezeichnet man als seinen Betrag die Länge der Strecke vom Fuß bis zur Spitze. Man spricht daher auch oft von der Länge des Vektors.

Notation: Für den Betrag eines Vektors %%\vec{a}%% benutzt man das Symbol %%|\vec{a}|%%. In vielen Büchern findet man auch die Schreibweise %%\|\vec{a}\|%%.

Betrag in der Ebene

Berechnung

Der Betrag eines Vektors wird durch den Satz des Pythagoras berechnet. Die einzelnen Koordinaten werden dabei quadriert und addiert, dann wird aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen.

In der Ebene

%%\left|\overrightarrow a\right|=\left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}%%

Betrag mit Pythagoras

In dem Raum

%%\left|\overrightarrow a\right|=\left|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}%%

Betrag im Raum

Der Betrag eines Vektors ist auch gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.

%%\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm a}}=\sqrt{{\mathrm a}_1^2+{\mathrm a}_2^2}%%

%%\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|=\sqrt{\overrightarrow{\mathrm a}\circ\overrightarrow{\mathrm a}}=\sqrt{{\mathrm a}_1^2+{\mathrm a}_2^2+{\mathrm a}_3^2}%%

Beispiele

Beispiel 1

%%\vec{a} = \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}%%

%%-\vec{a} = \begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix} \Rightarrow |\vec{-a}| = \sqrt{2}%%

Die Länge beider Vektoren %%\vec{a}%% und %%-\vec{a}%% ist gleich %%\sqrt{2}%%.

Beispiel 2

%%\overrightarrow a=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\;\;\Rightarrow\left|\overrightarrow a\right|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}%%  

Die Länge des Vektors ist %%\sqrt{14}%% .

Übungsaufgaben

Normierung

Oft wird von einem normierten Vektor oder einem Einheitsvektor gesprochen. Dabei bezeichnet man einfach einen Vektor, der die Länge 1 hat.
Einheitsvektoren sind nützlich, weil man mit ihnen sehr leicht rechnen kann.

Wie findet man normierte Vektoren?

Jeder Vektor %%\vec{v}%% (außer dem Nullvektor !) kann normiert werden, das heißt gekürzt oder gestreckt werden, sodass er Länge 1 hat. Dies macht man, indem man %%\vec{v}%% durch seine Länge teilt.

Der Vektor %%\vec{w} = \dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|}%% hat immer Länge 1. Er ist also ein normierter Vektor.

Warum ist das so?

In der Ebene

Hier hat der neue Vektor %%\vec{w}%% die Koordinaten %%w_1 = \dfrac{v_1}{|\vec{v}|}%% und %%w_2 = \dfrac{v_2}{|\vec{v}|}%%. Dann gilt für die Länge von %%\vec{w}%% :

%%|\vec{w}| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2} =\sqrt{\left(\dfrac{v_1}{|\vec{v}|}\right)^2 + \left(\dfrac{v_2}{|\vec{v}|}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{v_1^2+v_2^2}{|\vec{v}|^2}} = \sqrt{\dfrac{v_1^2+v_2^2}{v_1^2+v_2^2}} = \sqrt{1} = 1.%%

Im Raum

Hier hat der neue Vektor %%\vec{w}%% die Koordinaten %%w_1 = \dfrac{v_1}{|\vec{v}|}%%, %%w_2 = \dfrac{v_2}{|\vec{v}|}%% und %%w_3 = \dfrac{v_3}{|\vec{v}|}%%. Dann gilt für die Länge von %%\vec{w}%% :

%%|\vec{w}| = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + w_3^2} =\sqrt{\left(\dfrac{v_1}{|\vec{v}|}\right)^2 + \left(\dfrac{v_2}{|\vec{v}|}\right)^2 + \left(\dfrac{v_3}{|\vec{v}|}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{v_1^2+v_2^2+ v_3^2}{|\vec{v}|^2}} = \sqrt{\dfrac{v_1^2+v_2^2+ v_3^2}{v_1^2+v_2^2+ v_3^2}} = \sqrt{1} = 1.%%

Bezug zum Betrag von reellen Zahlen

Wie der Betrag einer reellen Zahl, kann auch der Betrag eines Vektors als der Abstand des Vektors "zur Null" (also zum Ursprung) verstanden werden.
Daher benutzt man das Symbol %%|\vec{a}|%% für die Länge des Vektors %%\vec{a}%%.

Wie bei den reellen Zahlen gilt:

Betrag Vektoren

  • Die Vektoren %%\vec{a}%% und %%-\vec{a}%% haben immer den gleichen Betrag.

  • Der Betrag von einem Vielfachen %%\lambda \cdot \vec{a}%% von %%\vec{a}%% ist gleich dem Betrag der reellen Zahl (!) %%\lambda%%, mal den Betrag des Vektors %%\vec{a}%%.

Anwendungen

Vektoren spielen in vielen Aspekten des realen Lebens eine Rolle. So lassen sich zum Beispiel

  • Flugbahnen von Flugzeugen und Planeten, sowie
  • physikalische Kräfte wie die Schwerkraft oder ein Magnetfeld

mithilfe von Vektoren beschreiben.
Die Länge der Vektoren, beschreibt dann

  • die Geschwindigkeit eines Flugzeugs (oder eines Planeten) zu einem gewissen Zeitpunkt, oder auch
  • das Gewicht eines Objekts (oder die Stärke eines Magnetfeldes)

Flugzeug Auf ein Flugzeug wirkende Kräfte.

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