Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, gibt es grundsätzlich mehrere Möglichkeiten:

1.- Berechnung mit Grundlinie und zugehöriger Höhe - allgemein - Sonderfälle für rechtwinkliges und für gleichseitiges Dreieck

$$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$$

2.- Berechnung mit zwei Seiten und dem Sinus des Winkels dazwischen

$$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$

3.- Berechnung mit einer Determinante (nur im Koordinatensystem möglich)

$$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot |\vec{AB}\times\vec{AC}|$$

Dreiecksfläche mit Grundlinie und Höhe berechnen

Dies ist die zumeist verwendete Methode.
Man braucht dabei zur Berechnung der Dreiecksfläche %%A_{\Delta}%%

  • die Grundlinie %%g%% und
  • die Höhe %%h%% des Dreiecks.

Die Formel lautet:

$$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h$$

Graphik zur Veranschaulichung von Grundlinie und Höhe

Warum stimmt die Formel?

Die Formel dafür kann man dadurch erhalten, dass man das Dreieck zu einem (doppelt so großen) Rechteck ergänzt - genaueres dazu siehe im Artikel zur Herleitung der Formel der Dreiecksfläche.

Verschiedene Versionen der Formel

Grundlinie %%g%% kann jede beliebige Seite des Dreiecks sein; %%h%% muss aber die jeweils zugehörige Höhe sein.
Damit kann die Formel in drei verschiedenen Formen erscheinen:

%%A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a%%

%%A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h_b%%

%%A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c%%

Übungsaufgaben (hier klicken)

Berechne die Fläche des Dreiecks, wenn gilt:

Berechne die Fläche des Dreiecks, das durch die folgenden Punkte gegeben ist:

Verwende die Formel, um die gesuchte Größe zu finden:

Sonderfall: rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten %%a%% und %%b%% gilt:
$$A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b$$

(Die Formel %%A_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h_c%% gilt natürlich zusätzlich immer noch.)

Grafik einfügen

Sonderfall: gleichseitiges Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge %%a%% gilt:

$$A_{\Delta ABC}=\frac{a^2}{4}\cdot \sqrt 3$$

Dreiecksfläche mit dem Sinus berechnen

Wenn man bereits den Sinus kennt und verwenden darf, kann man die Fläche eines Dreiecks auch mit Hilfe

  • zweier Seitenlängen und
  • dem Sinus des dazwischenliegenden Winkels

berechnen.

$$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$

Graphik "Seite-Winkel-Seite"

Statt %%\gamma%% kann natürlich auch jeder andere Winkel des Dreiecks betrachtet werden, und daher kann die Formel auch wieder in drei verschiedenen Formen auftreten:

$$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$ Graphik zur Veranschaulichung: Dreieck mit Seite b und Seite a und Winkel Gamma dazwischen

$$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot a \cdot c \cdot \sin \beta$$ Graphik zur Veranschaulichung: Dreieck mit Seite a und Seite c und Winkel Beta dazwischen

$$A_{\Delta}=\frac{1}{2}\cdot b \cdot c \cdot \sin \alpha$$ Graphik zur Veranschaulichung: Dreieck mit Seite b und Seite c und Winkel Alpha dazwischen

Übungsaufgaben (hier klicken)

Dreiecksfläche mit der Determinante berechnen

Diese Methode funktioniert natürlich nur, wenn das Dreieck in einem Koordinatensystem gegeben ist.

in Arbeit - vorerst klicke dazu hier...

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