Berechnungsformeln für den Kreis

Ein Kreis beschreibt die Menge aller Punkte, die denselben Abstand %%r%% zum Mittelpunkt %%M%% besitzen. Im folgenden Artikel lernst du du die Formeln zur Berechnung des Umfangs, der Kreisfläche, der Kreisbogenlänge und der Sektorfläche und wie man auf diese Formeln kommt.

Zusammenfassung

Begriff

Formel

Umfang:

%%U=2\pi r%%

Kreisfläche:

%%A_{\circ}=\pi r^2%%

Kreisbogenlänge:

%%b=U\cdot \dfrac{\alpha}{360°}%%

Sektorfläche:

%%A_s = A_{\circ} \cdot \dfrac{\alpha}{360°}%%

Bestimmung des Umfangs

Den Umfang erhältst du durch Abrollen des Kreises und messen der abgerollten Strecke. Auf diese Weise kannst du die Kreiszahl %%\pi%% definieren.

In der Abbildung rechts siehst du, wie ein Kreis mit Durchmesser %%d=1%% abgerollt wird.

Sein Umfang beträgt %%\pi%%, also etwa %%3,14%%.

Für den Umfang findest du so den folgenden Zusammenhang:

%%U = 2r \cdot \pi = d\cdot \pi%%

Berechnung des Flächeninhalts

Um den Flächeninhalt eines Kreises zu berechnen, stellst du dir einen Kreis vor, der in viele Kreissektoren zerteilt ist. Dieser Kreis ähnelt einem Kuchen mit vielen Kuchenstücken.

achtgeteilter Kreis

achtgeteilter Kuchen abgerollt

Ähnlich wie beim Umfang kannst du nun diese Kuchenstücke umplatzieren und nebeneinander legen. Die Kreissektoren sehen schon fast wie Dreiecke aus. Aber nur fast.

Die Höhe des Dreiecks %%\overline{AD}%% ist kleiner als der Radius %%r%%, also die Länge %%\overline{AE}%% rechts im Bild.

Nahaufaufnahme

Vergrößerst du jedoch die Anzahl der Kreissektoren, so kannst du den Flächeninhalt des Kreises immer besser durch den Flächeninhalt von Dreiecken annähern.

Kreis 16teilig

Die Länge der aneinandergelegten Kreissektoren gleicht bei vielen Unterteilungen nun näherungsweise dem Umfang.

Der Flächeninhalt des Dreiecks %%ABC%% entspricht nun fast dem Flächeninhalt eines Kreissektors und die Höhe des Dreiecks ist in etwa %%r%%, also %%\overline{AE}%%.

Wenn du nun immer weiter die Anzahl der Kuchenstücke verfeinerst auf ganz viele Kreissektoren, kannst du sehr genau den Flächeninhalt bestimmen.

Stell dir hierfür eine ganz große natürliche Zahl %%n%% vor. Der Kreis soll in %%n%% Teile zerteilt werden. Ein Kuchenstück hat dann in etwa den Flächeninhalt eines Dreiecks:

%%A_{\Delta} =\frac{1}{2}\cdot \overline{BC} \cdot \overline{AD}%%

So berechnest du den Flächeninhalt eines der Dreiecke.
Bei sehr vielen Kreissektoren ist %%\overline{AD}%% in etwa so lang wie %%\overline{AE}%%.

%%\approx \frac{1}{2}\cdot \overline{BC} \cdot \overline{AE}%%

%%\overline{AE}%% entspricht dem Radius %%r%% des Kreises.

%%= \frac{1}{2}\cdot \overline{BC} \cdot r%%

Nun nähern wir auch den Flächeninhalt des Dreiecks noch weiter an, um die Kreisfläche möglichst genau zu bestimmen.
Die Länge %%\overline{BC}%% ist fast ein %%n%%-tel des Umfangs. Durch addieren aller %%n%% Dreiecksflächen erhältst du näherungsweise die Formel für den Flächeninhalt des Kreises.

%%A_{\circ} \approx n \cdot A_{\Delta}%%

Du ersetzt %%A_{\Delta}%% durch die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks.

%%\approx n \cdot (\frac{1}{2} \cdot \overline{BC} \cdot r)%%

Die Strecke %%\overline{BC}%% ist fast ein %%n%%-tel des Umfangs. Der Umfang %%U%% ist %%2\pi r%%.

%%\approx n \cdot (\frac{1}{2} \cdot (2 \pi r \cdot \frac{1}{n})\cdot r)%%

Durch Ausklammern und Kürzen kommst du auf dieses Ergebnis.

%%= \pi \cdot r^2%%

Durch Annähern der Kreissektoren an Dreiecke und näherungsweiser Berechnung des Flächeninhalt dieser Dreiecke erhälst du in diesem Fall glücklicherweise sogar exakt die Kreisfläche.

Durch Unterteilung in unendlich viele Kreissektoren bestätigt sich, dass deine Näherung exakt ist:

%%A_{\circ} = \pi r^2%%

Berechnung der Kreisbogenlänge

Die Kreisbogenlänge %%b%% kannst du über den vom Kreissektor eingeschlossenen Winkel %%\alpha%% und den Radius %%r%% bestimmen.

Der Kreis hat einen Innenwinkel von %%360°.%%
Das Verhältnis des Winkel %%\alpha%% zu %%360°%%, gibt dir den Anteil der Kreisbogenlänge %%b%% vom Umfang %%U%% an.

Du erhältst so die Formel:

%%b = \frac{\alpha}{360°} \cdot U = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r%%

Berechnung der Sektorfläche

Die Sektorfläche bestimmst du auch über das Verhältnis des Winkels %%\alpha%% zu %%360°%%. Dieses Verhältnis gibt dir an, welchen Anteil der Flächeninhalt vom Kreissektor zum Flächeninhalt des ganzen Kreises hat.

Die Formel zur Berechnung der Sektorfläche lautet also:

%%A_s = \frac{\alpha}{360°} \cdot A_{\circ} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2%%

Video zur Flächenberechnung

Kommentieren Kommentare

Zu article Berechnungen am Kreis: Gut erklärt.
jobheld 2014-11-07 10:56:57
Aber es wäre hilfreicher, wenn man den Kreisumfang online berechnen könnte. Hier habe ich z.B. einen schönen Rechner gefunden: http://kreisumfang-berechnen.plakos.de/
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Zu article Berechnungen am Kreis:
LisaSchwa 2017-05-30 13:10:43
SchülerInnen der 7. Klasse haben gesucht, wie man den Umfang eines Kreises berechnet. Über die Suche "Umfang" und über die Schulform-/Klassenformnavigation sind sie nicht zu dieser Seite gekommen. Das wäre hilfreich gewesen :-)
Nish 2017-05-31 13:08:54
Danke für den Hinweis. Schulform war wsl. Realschule, oder?
Wir müssen bald mal wieder einen Lehrplan-Sprint veranstalten ;)

LG,
Nish
LisaSchwa 2017-06-01 07:03:28
Hi Nish,
Danke für die schnelle Antwort. Richtig, die Schulform war Realschule. Sorry - habe ich vergessen, dazu zu schreiben.
Lieben Gruß!
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Zu article Berechnungen am Kreis:
Renate 2016-12-20 11:13:04
GRAPHIK IN "BERECHNUNGEN AM KREIS" SEHR VOLL
Die Graphik, in der die einzelnen Kreisteile dargestellt sind, erscheint mir etwas überladen; außerdem ist der Umfang strenggenommen falsch markiert, da die grüne Linie nicht ganz herum geht.

VORSCHLAG:
Wir sollten mehrere separate Graphiken (und separate Abschnitte) erstellen, zum Beispiel eine für die Berechnungen am (ganzen) Kreis und eine für die Berechnungen am Kreissektor,
(und zudem (langfristig) für jedes der Objekte einen eigenen, ausführlicheren Artikel auf Serlo haben, zu dem dann von hier aus verlinkt wird).

Als "Vorbild" für die Struktur könnten vielleicht die von Knorrke meiner Meinung sehr gut gestalteten Artikel "Volumenformeln" (https://de.serlo.org/59099) oder "Oberflächenformeln" (https://de.serlo.org/64697) - dienen, die ja auch, ähnlich wie dieser Artikel hier, ihrem Charakter nach Überblicksartikel oder Formelsammlungen darstellen.
Was haltet ihr davon?

Gruß
Renate
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