Ein Kreissektor ist eine Teilfläche des Kreises, die von einem Kreisbogen und zwei daran angrenzenden Strecken zum Mittelpunkt gebildet wird.

Anschaulich sieht ein Kreissektor aus wie ein Käsestück von oben betrachtet.

Camember Kreissektor Abb. 1 Käsestücke

Flächenberechnung

Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten die Fläche eines Kreissektors zu berechnen:

  • Mit Radius und Mittelpunktswinkel
  • Mit Radius und Länge des Kreisbogens

Berechnung mit Radius und Mittelpunktswinkel

Die Fläche des Kreissektors ist ein Teil der Kreisfläche. Das Verhältnis zwischen den Flächeninhalten des Kreises und des Kreissektors entspricht dem Verhältnis zwischen Mittelpunktswinkel %%\alpha%% und dem Gesamtwinkel mit %%360°%%.

%%\dfrac{\alpha}{360°}=\dfrac{A_{\text{Sektor}}}{A_{\text{Kreis}}}%%

Man stellt die Formel nach %%A_{\text{Sektor}}%% um.

%%A_{\text{Sektor}}=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot A_{\text{Kreis}}%%

Die Fläche eines Kreises ist %%A_{\text{Kreis}}=\pi r^2%%.

%%A_{\text{Sektor}}=\dfrac{\alpha}{360°}\cdot \pi r^2%%

Beispiel

Es soll nun der Flächeninhalt des folgenden Kreissektors (rot) bestimmt werden:

Beispiel 1

$$A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}$$

Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.

$$A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}=3^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{45^\circ}{360^\circ}=\;9\cdot\mathrm\pi\cdot\frac18\approx3,53$$

Berechnung mit Radius und Länge des Kreisbogens

Das Verhältnis zwischen dem Umfang %%U%% des Kreises und der Länge %%b%% des Kreisbogens entspricht dem Verhältnis zwischen den Flächeninhalten des Kreises und des Sektors.

%%\dfrac{b}{U}=\dfrac{A_{\text{Sektor}}}{A_{\text{Kreis}}}%%

Man stellt die Gleichung nach %%A_{\text{Sektor}}%% um.

%%A_{\text{Sektor}}=\dfrac{b}{U}\cdot A_{\text{Kreis}}%%

Man setzt die Formeln für den Umfang und die Fläche des Kreises ein.

%%A_{\text{Sektor}}=\dfrac{b}{2\pi r}\cdot \pi r^2%%

Im Bruch lässt sich %%\pi%% und %%r%% kürzen.

%%A_{\text{Sektor}}=\dfrac{b \cdot r}{2}%%

Beispiel

Es soll nun der Flächeninhalt des folgenden Kreissektors (rot) bestimmt werden:

$$\displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2$$

Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bstimmen.

$$\displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2=\:\frac{25\cdot6}2=\;75$$

Übungsaufgaben


Quellenangabe

Abb. 1: Autor: G. Anfossi, Quelle: Wikimedia Commons

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