Ein symmetrisches Trapez (manchmal auch "gleichschenkliges Trapez" genannt) ist

  • ein (besonderes) Viereck, bei dem

  • (mindestens) zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind und

  • das achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten der beiden parallelen Seiten ist.

symmetrisches Trapez

Gleichwertige Definition

  • Ein symmetrisches Trapez ist ein Trapez, bei dem die beiden Innenwinkel einer der parallelen Seiten gleich groß sind.
Warum kann ein symmetrisches Trapez nicht als Trapez mit zwei gleich langen Schenkeln definiert werden?

In diesem Fall wäre jedes Parallelogramm ein symmetrisches Trapez. Ein Parallelogramm ist aber im Allgemeinen kein symmetrisches Trapez, wie man z.B. im Haus der Vierecke sieht.

Eigenschaften des symmetrischen Trapezes

Besonderheiten bei Seiten, Winkeln und Diagonalen

In einem symmetrischen Trapez

  • sind die beiden Schenkel gleich lang.

In dem symmetrischen Trapez %%ABCD%% gilt also:

%%\overline{AD}=\overline{BC}%%

gleich lange Seiten im symmetrischen Trapez

In einem symmetrischen Trapez

  • gibt es an jeder der parallelen Seiten zwei gleich große Innenwinkel.

In dem symmetrischen Trapez %%ABCD%% gilt also:

%%\alpha=\beta%%
%%\gamma=\delta%%

gleich große Winkel im symmetrischen Trapez

  • ergänzen sich die Innenwinkel an den beiden Schenkeln zu 180 Grad.

%%\alpha+\delta= 180°%%
%%\beta+\gamma=180°%%

Winkel ergänzen sich zu 180° im symmetrischen Trapez

In einem symmetrischen Trapez

In dem symmetrischen Trapez %%ABCD%% gilt also:

%%\overline{AC}=\overline{BD}%%

gleich lange Diagonalen im symmetrischen Trapez

Einordnung als Viereck

  • Jedes symmetrische Trapez ist immer auch ein Trapez,

und zwar ein (besonderes) Trapez, das achsensymmetrisch ist.

Spezialfälle von symmetrischen Trapezen

  • Wenn ein symmetrisches Trapez vier rechte Winkel hat, ist es ein Rechteck.
  • Wenn ein symmetrisches Trapez vier gleich langen Seiten hat, ist es ein Quadrat.

Eine übersichtliche Einordnung des symmetrischen Trapezes findest du im Artikel zum Haus der Vierecke.

Symmetrieeigenschaften

Punktsymmetrie

Ein symmetrisches Trapez ist im Allgemeinen nicht punktsymmetrisch.

Ausnahmen:

  • Wenn ein symmetrisches Trapez ein Rechteck (oder ein Quadrat als Spezialfall des Rechtecks) ist, ist es punktsymmetrisch zum Schnittpunkt der Diagonalen.

Achsensymmetrie

Ein symmetrisches Trapez ist immer achsensymmetrisch, Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte der beiden parallelen Seiten.

Umkreis und Inkreis

Umkreis eines symmetrischen Trapezes

Umkreis
Ein symmetrisches Trapez hat immer einen Umkreis.

kein Inkreis im symmetrischen Trapez

Kein Inkreis
Ein symmetrisches Trapez hat im Allgemeinen keinen Inkreis. Es gibt aber Ausnahmen, zum Beispiel wenn das symmetrische Trapez ein Quadrat ist.

Flächeninhalt und Umfang

Flächeninhalt

Die Fläche eines symmetrischen Trapezes ist das Produkt von Höhe und der halben Summe der beiden zueinander parallelen Seiten:

%%A_\text{ symmetrischesTrapez}=\frac{\left(a+c\right)}2\cdot h%%

Wenn man ein symmetrisches Trapez verdoppelt und das Zweite um 180° gedreht an das Erste legt, ensteht ein Parallelogramm mit der Grundlinie (a+c). Durch das Anwenden der Flächenformel eines Parallelogramma erhält man die oben genannte Formel.

Umfang

Der Umfang eines symmetrischen Trapezes ist die Summe der Seitenlängen. Da die beiden Schenkel die gleiche Länge haben ist der Umfang gegeben durch

%%U_\text{symmetrischesTrapez}=a+2\cdot b + c%%

Kommentieren Kommentare

Zu article Symmetrisches Trapez:
Renate 2017-03-17 00:19:45
ARTIKEL "SYMMETRISCHES TRAPEZ"
Zunächst einmal: Vielen Dank für die Erstellung dieses Artikels!
(- und vielen Dank auch für die Korrektur, dass man ein symmetrisches Trapez nicht als Trapez mit gleich langen Schenkeln definieren kann, das war mir nämlich im vorherigen Zustand noch aufgefallen.)

Drei kleinere Anmerkungen hätte ich aber noch:

1. Was soll der Satz "Wenn ein Parallelogramm vier gleich lange Seiten hat, ist es eine Raute." im Abschnitt "Spezialfälle von symmetrischen Trapezen"? Ich würde das da herauslassen.

2. Die Ausnahmen bei den Symmetrieeigenschaften beziehen sich nur auf die Punktsymmetrie. Ich meine, dann sollten sie auch besser bei der Punktsymmetrie stehen, sonst irritiert das irgendwie.

3. Beim Inkreis wird dadurch, dass unter "Ausnahmen" nur der Satz "Wenn ein symmetrisches Trapez ein Quadrat ist, so hat es einen Inkreis." folgt, der Eindruck erweckt, ein symmetrisches Trapez mit Inkreis könne NUR ein Quadrat sein. Das ist jedoch nicht richtig, oder irre ich mich da? Man sollte hier vielleicht zumindest ein "zum Beispiel" o.ä. einfügen.

Viele Grüße
Renate
Knorrke 2017-05-08 07:54:07
Danke für die Anmerkungen, Renate. Jetzt sollte das alles stimmen :-) Falls dir noch etwas auffällt, schreib einfach einen neuen Kommentar!
Viele Grüße
Benni