Aufgaben

Teile die Strecken im angegebenen Verhältnis und bestimme die Längen der Teilstrecken.

%%\overline{AB}=10cm%% im Verhältnis 1:4

Wie du die Strecke teilst erfährst du hier   Artikel zum Thema

Schritt 1

Zeichne eine Gerade durch den Punkt A

Geogebra File: /uploads/legacy/8205_ccc5Cyd2vY.xml

 

Schritt 2

Zeichne einen Kreis um A mit irgendeinem Radius r und makiere den Schnittpunk des Kreises mit der Gerade.

Geogebra File: /uploads/legacy/8207_j0Db7E1opx.xml

 

Schritt 3

Zeichne einen Kreis mit gleich großem Radius um den gerade erhaltenen Schnittpunkt. Wiederhole dies so oft bis du insgesamt 4+1=5 Schnittpunkte hast.

Geogebra File: /uploads/legacy/8213_5Kg6VWbi44.xml

 

Schritt 4

Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt B.

Geogebra File: /uploads/legacy/8211_lHr6oMOgNz.xml

 

Schritt 5

Konstruiere eine Parallele zu der eben gezeichneten Strecke durch den 1. Schnittpunkt. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Strecke [AB] ist der Punkt T, der die Strecke im Verhältnis 1:4 teilt.

Geogebra File: /uploads/legacy/8215_N1sDBwBeIW.xml

 

Die Länge der Teilstrecken %%\overline{TA}%% und %%\overline{TB}%% berechnet man mit der Formel: %%\overline{TA}=\frac a{a+b}\cdot\overline{AB}%% und %%\overline{TB}=\frac b{a+b}\cdot\overline{AB}%%

%%\overline{TA}=\frac1{1+4}\cdot10cm=\frac15\cdot10cm=2cm%%

a=1,  b=4 und  %%\overline{AB}=10cm%%

%%\overline{TB}=\frac4{1+4}\cdot10cm=\frac45\cdot10cm=8cm%%

%%\overline{CD}=12cm%% im Verhältnis 4:2

Wie du eine Strecke teilst erfährst du hier   Artikel zum Thema

Schritt 1

Zeichne eine Gerade durch den Punkt C

Geogebra File: /uploads/legacy/8217_eRkgqLi1sM.xml

 

Schritt 2

Zeichne einen Kreis um C mit irgendeinem Radius r und makiere den Schnittpunk des Kreises mit der Gerade.

Geogebra File: /uploads/legacy/8219_cCo2EhSynx.xml

 

Schritt 3

Zeichne einen Kreis mit gleich großem Radius um den gerade erhaltenen Schnittpunkt. Wiederhole dies so oft bis du insgesamt 4+2=6 Schnittpunkte hast.

Geogebra File: /uploads/legacy/8223_oY0gbQWktg.xml

 

Schritt 4

Verbinde den letzten Schnittpunkt mit dem Punkt D.

Geogebra File: /uploads/legacy/8225_HcHKNfK2Cv.xml

 

Schritt 5

Konstruiere eine Parallele zu der eben gezeichneten Strecke durch den 4. Schnittpunkt. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Strecke [CD] ist der Punkt T, der die Strecke im Verhältnis 4:2 teilt.

Geogebra File: /uploads/legacy/8227_bkWUq2lMSc.xml

 

 

Die Länge der Teilstrecken %%\overline{TC}%% und %%\overline{TD}%% berechnet man mit der Formel: %%\overline{TC}=\frac a{a+b}\cdot\overline{CD}%% und %%\overline{TD}=\frac b{a+b}\cdot\overline{CD}%%

%%\overline{TC}=\frac4{4+2}\cdot12cm=\frac46\cdot12cm=8cm%%

a=4,  b=2 und  %%\overline{CD}=12cm%%

%%\overline{TD}=\frac2{4+2}\cdot10cm=\frac26\cdot12cm=4cm%%

Zeichne einen Kreis K mit dem Radius %%4 \, cm%% und in diesen Kreis eine Sehne %%s%% der Länge %%7\,cm%%.

Konstruiere alle Sekanten durch %%K%%, die mit %%s%% einen Winkel von %%70%% Grad einschließen und die Länge %%5 \, cm%% besitzen.

Sämtliche Konstruktionslinien müssen deutlich erkennbar sein und schreibe kurz die einzelnen Konstruktionsschritte auf!

in Arbeit (erstmal alte Lösung rekonstruiert, ist aber wohl falsch, wenn die Angabe stimmt)

Konstruktion:

1. Schritt: Konstruktion der Sehne %%s%%
  1. Konstruktion des Kreises K (schwarz) mit dem Radius %%r= 4 \, cm%% und dem Mittelpunkt %%M%%.

  2. Zirkel entsprechend der Strecke %%7 cm%% einstellen.

  3. Beliebig in den Umfang des Kreises K einstechen (hier: Punkt %%E%%) und Strecke %%7 \, cm%% mit dem Zirkel abtragen (hier: größtenteils eingezeichnet).

  4. Einen der Schnittpunkte vom Kreis K und dem Zirkelradius %%7 \, cm%% als weiteren Punkt wählen und mit dem Einstichpunkt verbinden (hier wurde der Schnittpunkt rechts vom Einstichspunkt %%E%% gewählt).

    %%\Rightarrow\;%% Sehne s mit %%7 \, cm%% (blau)

2. Schritt: Einzeichnen der Gerade %%g%%, die mit %%s%% einen Winkel %%70^\circ%% einschließt
  1. An einem der beiden Punkte der vorher konstruierten Sehne, den Winkel %%70^\circ%% abtragen.

  2. Gerade %%g%% (grün), die den Winkel %%70^\circ%% einschließt, zeichnen.

  3. Parallele der Gerade %%g%% (ebenfalls grün), die durch den Kreismittelpunkt %%M%% geht, einzeichnen.

3. Schritt
  1. Kreis %%K_{2}%% (lila) mit dem Radius %%5 \, cm%% um den Mittelpunkt %%M%% des ersten Kreises K konstruieren.

  2. Beliebig in einen Punkt (hier: %%H%%) auf dem Umfang des Kreises %%K_{2}%% einstechen und einen Kreis %%K_{3}%% mit %%r = 4 \, cm%% (hier nur gestrichelt und in grau) konstruieren und %%\overline{MH}=\;5\;cm%% einzeichen.

4. Schritt
  1. Schnittpunkte des Kreis %%K_{3}%% mit dem Kreis K benennen (Hier: %%K,L%%).

  2. Die Strecken %%\overline{HK\;}bzw.\;\overline{HL}%% einzeichnen.

  3. Zu jeder dieser beiden Punkten jeweils eine Parallele zu der Strecke %%\overline{HM}%% konstruieren (Hier: jeweils grau).

  4. Schnittpunkt dieser Parallelen mit dem Kreis K mit z.B. %%G%% und %%J%% benennen.

  5. Diese Schnittpunkte mit jeweils %%K%% bzw. %%L%% verbinden.

    %%\Rightarrow%% %%\overline{KG\;}=5\,cm%% bzw.%%\,\overline{LJ}=5\;cm\;%% sind somit die gesuchten Sekanten.

Zeichne die Punkte %%S_1%%(1|-1), %%A%%(-3|1), %%U%%(-3|1), %%T%%(-1|1), %%O%%(0|2) und %%S_2%%(1|2) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm.

  1. Füge im Koordinatensystem einen nach oben geöffneten Halbkreis mit Mittelpunkt %%M%%(-1|-1) und Radius 1 cm hinzu.

  2. Spiegle die Punkte %%AUTO%% und den Halbkreis an der Gerade %%S_1S_2%%. Zeichne das Auto ein!

  3. Verschiebe das Auto im Koordinatensystem um 2 Einheiten nach links und 5 Einheiten nach oben. Gib die Koordinaten der neu entstandenen Punkte an.

  4. Formuliere eine Regel, wie man die Koordianten der verschobenen Punkte berechnen kann.

  5. Welche Koordinaten haben die Punkte, wenn das Auto um 13 Einheiten nach rechts und um 7 Einheiten nach unten verschoben wird?

Teilaufgabe c

%%S_{1,neu}%%(-1|4), %%S_{2,neu}%%(-1|7), %%A_{neu}%%(-5|4), %%A'_{neu}%%, %%U_{neu}%%(-5|6), %%U'_{neu}%%(3|6), %%T_{neu}%%(-3|6), %%T'_{neu}%%(1|6), %%O_{neu}%%(-2|7), %%O'_{neu}%%(0|7)

Teilaufgabe d

Verschiebung um n Einheiten nach links: n von x-Koordinate subtrahieren

Verschiebung um n Einheiten nach rechts: n zur x-Koordinate addieren

Verschiebung um n Einheiten nach unten: n von y-Koordinate subtrahieren

Verschiebung um n Einheiten nach oben: n zur y-Koordinate addieren

Teilaufgabe e

S1neu2 (14| -8), S2neu2 (14| -5), Aneu2 (10| -8), A?neu2 (18| -8), Uneu2 (10| -6), U'neu2(18| -6), Tneu2(12| -6), T'neu2(16| -6), Oneu2(13| -5), O'neu2(15| -5)

Koordinatensystem Gerade A und C 3378_QNnBUAb59i.xml

Das Quadrat ABCD ist durch die Koordinaten von A=(1|3) und C=(6|6) eindeutig festgelegt.

  1. Konstruiere die fehlenden Punkte B und D. Zeichne das Quadrat.

  2. Berechne den Schnittpunkt der Diagonalen.

Teilaufgabe a

 

Geogebra File: /uploads/legacy/3286_tq0XwrUZdo.xml

Schritt 1

Konstruiere die Mittelsenkrechte durch die Strecke  %%\left[\mathrm A,\mathrm C\right]%% .

 

Schritt 2

Konstruiere einen Kreis um M mit Radius %%\overline{\left[\mathrm A,\mathrm M\right]}%% .

 

Schritt 3

Erhalte B und D als Schnittpunkte des Kreises mit der Mittelsenkrechte.

 

Schritt 4

Verbinde A,B,C,D und erhalte das Quadrat ABCD.

 

Teilaufgabe b

Wir bezeichnen M als den Schnittpunkt der Diagonalen. Wir wissen: Die Diagonalen eines Quadrates schneiden sich gegenseitig in der Mitte. D.h. wir bekommen M als den Mittelpunkt der Strecke [A,C]. Wir können M also berechnen indem wir an den Punkt A die Hälfte der Strecke AC anhängen.

%%\mathrm M=\mathrm A+\frac12\cdot(\mathrm C-\mathrm A)=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\frac12\cdot\left[\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}+\frac12\cdot\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3.5\\4.5\end{pmatrix}%%

3374_KqV7ABeu3g.xmlZeichne ein beliebiges Dreieck (wie im Bild rechts).

Konstruiere dann nacheinander folgende Linien:

  1. Alle drei Mittelsenkrechten und den Umkreis.

  2. Alle drei Winkelhalbierenden und den Inkreis

  3. Alle drei Höhen.

  4. Alle drei Seitenhalbierenden.

Teilaufgabe a

Schritt 1

Konstruiere die Mittelsenkrechte der Strecke %%\lbrack\mathrm A,\mathrm B\rbrack%% wie im Artikel erklärt.

Geogebra File: /uploads/legacy/3326_IJa90E1iI2.xml

 

Schritt 2

Konstruiere die Mittelsenkrechten der Strecken %%\lbrack\mathrm A,\mathrm C\rbrack%% und %%\lbrack\mathrm B,\mathrm C\rbrack%% wie in Schritt 1.

Geogebra File: /uploads/legacy/3324_ZkXK72w6Gv.xml

 

Schritt 3

Erhalte M als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

 Geogebra File: /uploads/legacy/3322_cGkasQu3wl.xml

Schritt 4

Erhalte den Umkreis als Kreis um den Mittelpunkt M mit Radius %%\overline{\lbrack\mathrm M,\mathrm B\rbrack}%% .

Geogebra File: /uploads/legacy/3356_usDz53NHFq.xml

 

Teilaufgabe b

Schritt 1

Konstruiere die Winkelhalbierende des Winkels bei A wie im Artikel beschrieben.

Geogebra File: /uploads/legacy/3354_zW6HcyTlpk.xml

 

 

Schritt 2

Wiederhole Schritt 1 für die Punkte B,C. Erhalte V als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Geogebra File: /uploads/legacy/3350_qp7nMUGGGm.xml

 

 

Schritt 3

Ziehe einen Kreis um V mit Radius %%\overline{\lbrack\mathrm{VW}\rbrack}%% . Dies ist der Inkreis.

Geogebra File: /uploads/legacy/3352_hgnGl3us9h.xml

 

 

Teilaufgabe c

Schritt 1

Konstruiere das Lot durch C auf die Strecke [AB] wie im Artikel beschrieben.Geogebra File: /uploads/legacy/3362_wliXgn2odK.xml

 

Schritt 2

Konstruiere die anderen Höhen wie in Schritt 1.

Geogebra File: /uploads/legacy/3360_K4BQFb66Kv.xml

 

Teilaufgabe d

Schritt 1

Konstruiere die Seitenhalbierende der Strecke [AB] wie im Artikel beschrieben.

Geogebra File: /uploads/legacy/3364_Gk4DrwSFOY.xml

 

Schritt 2

Konstruiere die Seitenhalbierenden der Strecken [BC] und [AC] wie in Schritt 1.

Geogebra File: /uploads/legacy/3366_NfrRpznls7.xml

Gegeben sind die Punkte A=(1|-2) B=(7|5.5) und eine Schar von Drachenvierecken ABnCDn mit der Symmetrieachse [AC].

Die Punkte Dn (x|y) liegen alle auf der Geraden g.

(Es sind unendlich viele solcher Dn und irgendwie sollen sie unterschieden werden – daher der Index n: Dn )

 Geogebra File: /uploads/legacy/3722_kJYW9QOcnA.xml

 

 

(Bewege den Regler c und erhalte so verschiedene mögliche Punkte D)

  1. Konstruiere die Drachenvierecke AB1CD1 und AB2CD2 für die Werte x = 3 bzw. x = - 2. ( Unter x verstehen wir die x-Koordinate des Punktes D )

  2. Konstruiere die Drachenvierecke AB3CD3 und AB4CD4 deren [CD] das Maß 2,5 cm hat.

  3. Konstruiere die beiden Drachenvierecke AB5CD5 und AB6CD6, bei denen das Maß des Winkels ADC 90° beträgt.

  4. Unter den Drachen existiert auch eine Raute AB7CD7. Konstruiere sie und gib die Koordinaten von D7 an.

1.

Für x=3

Schritt 1

Fälle ein Lot auf die x-Achse durch den Punkt (3|0) ( Wie konstruiere ich ein Lot? ). %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm D}_1%% ist der Schnittpunkt der Gerade g mit dem Lot.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3465_ZsmLTHNW30.xml

Schritt 2

Spiegle den Punkt %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm D}_1%% an der Strecke %%\lbrack\mathrm{AC}\rbrack%% ( Wie spiegle ich einen Punkt an einer Strecke? ) und erhalte so %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm B}_1%% .

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3463_geJAn5W6QE.xml

 

Für x=-2

Wiederhole die Schritte 1 und 2.

 

2.

Schritt 1

Ziehe einen Kreis um C mit Radius r=2.5. Erhalte %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm D}_3%% und %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm D}_4%% als Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden g.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3726_gqTt5qHFsg.xml

 

Schritt 2

Lege eine Gerade durch die Strecke %%\left[\mathrm{AC}\right]%% . Spiegle %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm D}_3%% und %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm D}_4%% an der Gerade ( Wie spiegle ich einen Punkt an einer Gerade/Strecke? ) und erhalte so die Punkte %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm B}_3%% und %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm B}_4%% .

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3728_G8qkyGKqBi.xml

 

Schritt 3

Zeichne die Drachenvierecke AB3CD3 und AB4CD4

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3732_VB9ltPVefc.xml

3.

Schritt 1

Konstruiere den Thaleskreis der Strecke %%\left[\mathrm{AC}\right]%% .( Wie konstruiere ich den Thaleskreis einer Strecke? ) Dort liegen Alle Punkte, die mit B und C einen rechten Winkel aufspannen. Erhalte %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm D}_5%% und %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm D}_6%% als Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3736_3N3233rZAB.xml

Schritt 2

Spiegle die Punkte %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm D}_5%% und %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm D}_6%% an der Strecke %%\left[\mathrm{AC}\right]%% wie in Teilaufgabe a) und erhalte so die Punkte %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm B}_5%% und %%\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}\mathrm B}_6%% .

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3734_CM2n1vgXoN.xml

Schritt 3

Verbinde die jeweiligen Punkte

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3738_GTLyDE1c3Y.xml

Gegeben ist eine Schar von (unendlich vielen) Vierecken AnBCD.

Alle Punkte An(x|y) liegen auf der Geraden g. Unter x verstehen wir die x –Koordinate eines Punktes An. Unter y seine y – Koordinate.

Geogebra File: /uploads/legacy/3748_PoO2xLkdC2.xml

  1. Konstruiere das Viereck A1BCD , für x = 2. Was ist die y – Koordinate des Punktes A1 ?

  2. Unter den Vierecken gibt es genau zwei Trapeze, die wir A2BCD und A3BCD nennen. Konstruiere sie und gib die Koordinaten der Punkte A2 und A3 an.

  3. Unter den Vierecken gibt es auch ein Drachenviereck A4BCD. Konstruiere es und gib die Koordinaten des Punktes A4 an.

  4. Die Diagonalen des eben gezeichneten Drachenvierecks schneiden sich im Punkt S. Berechne die Koordinaten vom Punkt S.

  5. Zeichne das Viereck A5BCD, das man für x = -3 erhält. Was ist an diesem Viereck anders als gewohnt?

  6. Gibt es Werte von x, für die man kein Viereck erhält? Bestimme sie durch Konstruktion.

Konstruiere einen 52,5° Winkel nur mit Zirkel und Lineal.

 

In konstruierbare Teilwinkel aufteilen

%%52,5^\circ=30^\circ+22,5^\circ%%

%%=\;\frac12\cdot60^\circ+\frac12\cdot45^\circ%%

%%=\frac12\cdot60^\circ+\frac12\cdot\frac12\cdot90^\circ%%

Teile den Winkel so auf, dass er als Term aus konstruierbaren Winkel geschrieben werden kann.

Der 90°- und der 60° Winkel sind konstruierbar.

Winkel konstruieren

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3818_JINsPS3BdA.xml

Konstruiere die Winkelhalbierende und erhalte somit einen 30° Winkel.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3820_L6gUXiwDTh.xml

Konstruiere auf dem oberen Schenkel des 30° Winkels ein Lot , welches auch durch den Scheitelpunkt geht.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3822_IZQjFe2A1e.xml

Konstruiere die Winkelhalbierende des 90° Winkels (des Lots !), und erhalte somit einen 45° Winkel.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3826_Wd2dSsxxlT.xml

Konstruiere die Winkelhalbierende des 45° Winkels, und erhalte somit einen 22,5° Winkel.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/3828_NPBB8B3aBQ.xml

Der 52,5° Winkel hat nun die erste Gerade und die eben konstruierte Winkelhalbierende als Schenkel.

Entscheide, ob man aus folgenden Angaben eindeutig Dreiecke konstruieren kann.

Und wenn ja, konstruiere das Dreieck.

%%c=5\;cm\;;\;\alpha=50^\circ\;;\;\beta=60^\circ%%

Skizze anfertigen

Geogebra File: /uploads/legacy/4120_jowChQm0LC.xml

Benenne ein beliebiges Dreieck

Geogebra File: /uploads/legacy/4122_5CwinNKTFQ.xml

Markiere die bekannten Größen.

Man sieht in der Skizze, dass das Dreieck die Voraussetzung des WSW-Satzes erfüllt.

Deshalb ist es eindeutig konstruierbar.

Artikel zum Thema

Dreieck konstruieren

Hier findest du das Applet zur Konstruktion mithilfe des WSW-Satzes.

Geogebra File: /uploads/legacy/4124_jtDaHT25Mk.xml

Zeichne eine Gerade und auf ihr irgendwo den Punkt A ein.

Geogebra File: /uploads/legacy/4126_eS7DlkKMFS.xml

Zeichne einen Kreis um A, dessen Radius genauso groß ist wie die Länge der Seite c.

Der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden ist der Punkt B.

Geogebra File: /uploads/legacy/8287_SMS2Fdsqvm.xml

Zeichne an A einen 50° Winkel.

Geogebra File: /uploads/legacy/4136_jDSlkB2yZT.xml

Zeichne an B einen 60° Winkel.

Der Schnittpunkt der beiden Schenkel ist der Punkt C des Dreiecks.

Somit hat man das Dreieck eindeutig konstruiert.

%%a=3cm\;;\;b=5cm;\;\;\gamma=30^\circ%%

Skizze anfertigen

Geogebra File: /uploads/legacy/4120_jowChQm0LC.xml

Benenne ein beliebiges Dreieck

Geogebra File: /uploads/legacy/4200_3tmASERYWb.xml

Markiere die bekannten Größen.

Man sieht in der Skizze, dass das Dreieck die Voraussetzung des SWS-Satzes erfüllt.

Deshalb ist es eindeutig konstruierbar.

Artikel zum Thema

Dreieck konstruieren

Hier findest du ein Applet zur Konstruktion mithilfe des SWS-Satzes.

Geogebra File: /uploads/legacy/4202_ixv7V8K3MR.xml

Zeichne eine Gerade und auf ihr irgendwo den Punkt C ein.

Geogebra File: /uploads/legacy/4204_sc4zYNHqQy.xml

Zeichne einen Kreis um C, dessen Radius genauso groß ist wie die Länge der Seite b.

Der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden ist der Punkt A.

Geogebra File: /uploads/legacy/4208_JQ3B8z1aKP.xml

Konstruiere an C einen 30° Winkel .

Geogebra File: /uploads/legacy/4210_UqBdvs2vJ4.xml

Zeichne um C einen Kreis, dessen Radius so groß ist wie die Seite a.

Der Schnittpunkt des Kreises mit dem eben konstruierten Schenkel ist der Punkt B.

Geogebra File: /uploads/legacy/4212_GCKO9PWSBV.xml

Verbinde die Punkte A und B. Diese Strecke ist die Seite c.

Das Dreieck ABC ist das gesuchte Dreieck.

%%a=6cm\;;\;b=4cm\;;\;\;\alpha=45^\circ%%

Skizze anfertigen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4120_jowChQm0LC.xml

Benenne ein beliebiges Dreieck und markiere die bekannten Größen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4214_5kWZwejlQT.xml

Laut Skizze kommt nur der SsW-Satz in Frage. Es muss also noch überprüft werden, ob die Seite, die dem gegebenen Winkel gegenüberliegt größer ist als die andere Seite.

Laut Angabe ist %%a>b%% , weshalb die Voraussetzung des SsW-Satzes erfüllt ist.

Deshalb ist es eindeutig konstruierbar.

(VORSICHT: Würde man nur die Skizze betrachten, wäre %%a<b%%

Dreieck konstruieren

Hier findest du ein Applet zur Konstruktion mithilfe des SsW-Satzes.

Zeichne eine Gerade und auf ihr irgendwo den Punkt A ein.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4124_jtDaHT25Mk.xml

Zeichne einen Kreis um A, dessen Radius genauso groß ist wie die Länge der Seite b.

Der Schnittpunkt des Kreises mit der Geraden ist der Punkt C.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4232_YzH2YwPmip.xml

Konstruiere an A einen 45° Winkel .

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4230_RjTc8tdOxq.xml

Zeichne um C einen Kreis, dessen Radius genauso groß ist wie die Seite a.

Der Schnittpunkt des Kreises mit dem gerade konstruierten Schenkel ist der Punkt B.

Die Strecke AB ist die Seite c.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4238_tD0hLYPCKH.xml

Verbinde den Punkt B mit dem Punkt C. Diese Strecke ist die Seite a.

Das Dreieck ABC ist das gesuchte Dreieck

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4236_jLR4SCRIhT.xml

%%a=3cm\;;\;b=4cm\;;\;c=8cm%%

Skizze anfertigen

Geogebra File: /uploads/legacy/4120_jowChQm0LC.xml

Benenne ein beliebiges Dreieck

Geogebra File: /uploads/legacy/4240_HWId6ylhK4.xml

Markiere die bekannten Größen.

Man sieht in der Skizze, dass das Dreieck die Voraussetzung des SSS-Satzes erfüllt.

Deshalb wäre es eindeutig konstruierbar.

ABER:

Artikel zum Thema

Dreiecksungleichung überprüfen

%%a = 3cm%%

%%b = 4cm%%

%%a + b = 3cm + 4cm = 7cm%%

aber:

%%c=8cm%%

%%\rightarrow c>a+b%%

Da die Seite c größer als die Summe der anderen beiden Seiten ist, existiert dieses Dreieck nicht!

Geogebra File: /uploads/legacy/4244_5SoDNALzqu.xml

Versucht man das Dreieck dennoch zu konstruieren (ohne die Dreiecksungleichung beachtet zu haben), stellt man fest, dass sich die Kreise die den Seiten a und b entsprechen nicht schneiden, es also kein Punkt C gibt.

Begründe, mit welchen der folgenden Angaben du ein Dreieck eindeutig konstruieren kannst! Zeichne dir dazu eine Skizze mit den gegebenen Werten auf!

%%a = 3\;cm%%, %%\;\;b=5\;cm%%, %%\; \; c=6\;cm%%

Konstruierbarkeit des Dreiecks

Zeichne zuerst eine Skizze, von dem Dreieck (ähnlich, wie der in der Angabe).

Die türkisen Seiten sind gegeben. Überlege nun, welchem Kongruenzsatz das entspricht.

Das Dreieck entspricht dem SSS-Satz, ist also prinzipiell konstruierbar.

Überprüfe nun noch, ob die beiden kürzeren Seiten zusammen größer als die lange Seite ist. Nur dann existiert das Dreieck überhaupt!

%%a = 3 \; cm, \; \; b = 5cm, \; \; c = 6cm%%

%%a + b = 3\; cm + 5 \; cm = 8 \; cm%%

%%8\;cm > 6 \;cm%%

%%\rightarrow a + b > c%%

Da %%a+b>c%% ist, existiert das Dreieck und ist nach dem SSS-Satz auch konstruierbar!

%%a=5\;cm%%, %%\; \; b = 4\;cm%%, %%\;\;c=10\;cm%%

Konstruierbarkeit des Dreiecks

Zeichne zuerst eine Skizze, von dem Dreieck (ähnlich, wie der in der Angabe).

Die türkisen Seiten sind gegeben. Überlege nun, welchem Kongruenzsatz das entspricht.

Das Dreieck entspricht dem SSS-Satz, ist also prinzipiell konstruierbar.

Überprüfe nun noch, ob die beiden kürzeren Seiten zusammen größer als die lange Seite ist. Nur dann existiert das Dreieck überhaupt!

%%a = 5 \; cm, \; \; b = 4 \;cm, \; \; c = 10 \;cm%%

%%a + b = 5\; cm + 4 \; cm = 9 \; cm%%

%%9\;cm < 10\;cm%%

%%\rightarrow a + b < c%%

Da %%a+b <c%% sind, existiert das Dreieck nicht und du kannst es daher auch nicht konstruieren. Die beiden Seiten %%a%% und %%b%% haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

%%c=7\;cm, \; \;\alpha=45°, \; \;\beta=65°% %%

Konstruierbarkeit des Dreiecks

Zeichne zuerst eine Skizze, von dem Dreieck (ähnlich, wie der in der Angabe) und markiere die gegebenen Größen.

Überlege, welchem Kongruenzsatz dieses Dreieck entspricht.

Da eine Seite und die zwei anliegenden Winkel gegeben sind, kannst du den WSW-Satz erkennen.

Dreiecke, die dem WSW-Satz entsprechen, sind eindeutig konstruierbar!

%%b=3\; cm, \; \; a=4\;cm,\; \; \gamma=50°%%

Konstruierbarkeit des Dreiecks

Zeichne zuerst eine Skizze (ähnlich, der in der Angabe) und markiere alle gegebenen Größen.

Überlege nun, welchem Kongruenzsatz dieses Dreieck entspricht!

Du hast zwei Seiten und den Winkel dazwischen gegeben. Daher entspricht das Dreieck dem SWS-Satz!

Nach dem SWS-Satz ist das Dreieck eindeutig konstruierbar!

%%b=7\;cm,\; \; a=3\;cm, \; \;\beta=70°%%

Konstruierbarkeit des Dreiecks

Zeichne zuerst eine Skizze (ähnlich der in der Angabe) und markiere die gegebenen Größen.

Überlege nun, um welchen Kongruenzsatz es sich handeln könnte.

Du hast zwei Seiten und einen Winkel gegeben. Der Winkel liegt nicht zwischen den gegebenen Seiten. Es handelt sich also entweder um den SsW oder um den sSW Satz.

Überprüfe, ob der Winkel gegenüber der großen (SsW-Satz) oder gegenüber der kleinen (sSW-Satz) liegt.

%%a = 3 \; cm, \; \; b = 7 \; cm%%

Du kannst schnell sehen, dass %%b%% die größere der beiden Seiten ist. Diese liegt gegenüber von %%\beta%%.

Du weißt jetzt also, dass es sich um den SsW-Satz handelt.

Dreiecke, die dem SsW-Satz entsprechen, sind eindeutig konstruierbar. Deshalb weißt du, dass dieses Dreieck konstruierbar ist!

%%a=3\;cm,\; \; b=7\; cm,\; \; \beta=70°%%

Konstruierbarkeit des Dreiecks

Zeichne zuerst eine Skizze (ähnlich der in der Angabe) und markiere die gegebenen Größen.

Überlege nun, um welchen Kongruenzsatz es sich handeln könnte.

Du hast zwei Seiten und einen Winkel gegeben. Der Winkel liegt nicht zwischen den gegebenen Seiten. Es handelt sich also entweder um den SsW oder um den sSW Satz.

Überprüfe, ob der Winkel gegenüber der großen (SsW-Satz) oder gegenüber der kleinen (sSW-Satz) liegt.

%%a = 7 \; cm, \; \; b = 3 \; cm%%

Du kannst schnell sehen, dass %%a%% die größere der beiden Seiten ist. Diese liegt neben %%\beta%%.

Du weißt jetzt also, dass es sich um den sSW-Satz handelt.

Dreiecke, die dem sSW-Satz entsprechen sind nicht eindeutig konstruierbar. Es gibt immer zwei Möglichkeiten, sie mit diesen Angaben zu zeichnen.

%%\alpha=45°, \; \; \beta= 45°, \; \;\gamma=90°%%

Konstruierbarkeit des Dreiecks

Zeichne zuerst eine Skizze (ähnlich der in der Angabe) und markiere die gegebenen Größen.

Überlege nun, um welchen Kongruenzsatz es sich handelt.

Alle drei Winkel sind angegeben, es handelt sich also um den WWW-Satz.

Dreiecke, sind nach dem WWW-Satz nicht eindeutig konstruierbar.

Es müsste noch eine Seite angegeben sein, um die Größe des Dreiecks zu bestimmen.

Die zwei Freundinnen Julia und Lena fahren sehr gerne Skateboard. Julias Papa hat Julia eine Rampe gebaut und jetzt will Lena auch so eine!

Die beiden telefonieren miteinander und Julia erklärt Lena, wie die Rampe aussieht:

"Die Rampe besteht aus einem Brett, das %%2\;m%% lang ist und das andere ist %%1,50\;m%% lang. Das %%2\;m%%-Brett ist vorne, so dass du dann über das %%1,5\;m%% Brett runter fährst."

Lena zeichnet sich gleich eine Skizze und baut die Rampe:

Zwei Wochen später telefonieren die beiden nochmal:

Lena sagt: "Die Rampe ist langweilig! Sie ist überhaupt nicht steil genug!"

Julia: "Meine nicht, sie ist sogar so steil, dass man nur mit viel Anlauf drüber kommt!"

Sie mailen sich die Bilder der Rampen zu, um sie zu vergleichen:

Warum sehen die beiden Rampen unterschiedlich aus?

Uneindeutigkeit der Angaben

Julia hat versucht, die Rampe nur mithilfe von zwei Angaben zu beschreiben. Die Rampe hat die Grundfläche eines Dreiecks, so dass man dieselben Kriterien für die Eindeutigkeit wie bei einem Dreieck annehmen kann.

Ein Dreieck ist durch zwei Angaben nicht eindeutig beschrieben und somit nicht konstruierbar. Lena hat diese zwei Strecken-Angaben in einem anderen Winkel zusammengebaut als Julia und somit eine andere Rampe erhalten.

Welche weitere Angabe könnte Julia an Lena weitergeben, so dass sie die Rampe identisch nachbauen kann?

Eindeutigkeit der Rampe

Die Rampe hat die Grundfläche eines Dreiecks. Dieses muss eindeutig sein.

Dreiecke sind eindeutig, wenn ein Kongruenzsatz gegeben ist.

In diesem Fall hast du zwei Strecken bereits gegeben, du suchst also einen Kongruenzsatz mit zwei Strecken und kannst dann die dritte Angabe hinzufügen.

Mögliche Kongruenzsätze:

SWS

SsW

SSS

Überlege dir, welche Angabe Julia nun noch für die verschiedenen Kongruenzsätze ausmessen sollte.

Gehe davon aus, dass die Strecke mit %%2 \; m%% die Strecke %%b%% ist und die Strecke %%a=1,50 \; m%%.

Für den SWS Satz wird der Winkel %%\gamma%% benötigt.

Für den SSS Satz wird die dritte Seite %%c%% benötigt.

Für den SsW-Satz wird der Winkel %%\beta%% benötigt.

Julia kann also eine der folgenden Angaben ausmessen:

den Winkel %%\gamma%%,

die Strecke %%c%%,

den Winkel %%\beta%%

Durch jede dieser drei Angaben wird das Dreieck eindeutig zu konstruieren und ist somit ausreichend beschrieben.

Kommentieren Kommentare

Nish 2017-06-26 11:02:23
Alle Aufgaben auf dieser Seiten müssen nochmal auf mathematische Korrektheit (teils fehlerhaft, es fehlen auch Lösungen zu ganzen bzw. Teilaufgaben) und auf die aktuellen Richtlinien (z.B. Verlinkung der Überschriften bzw. von wichtigen Begriffen, usw.) überprüft werden.
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Die neunte Aufgabe stimmt so nicht...
Nish 2017-01-25 17:44:06
Hallo charlymeier,
vielen Dank für deinen Hinweis! Ich habe leider momentan keine Zeit mir die Aufgabe genauer anzuschauen. Außerdem ist noch einiges an der Aufgabe zu ändern (z.B. sind die Bilder eigentlich Applets).

Entweder sieht jdn. die Diskussion und kümmert sich eher darum oder ich schaue es mir über das Wochenende an.

@alle: Falls jdn. Zeit und Lust hat, die Aufgabe zu korrigieren, einfach kurz hier Bescheid geben und loslegen :)

LG,
Nish
Nish 2017-01-29 16:18:39
Hallo charlymeier,
ich habe angefangen, die Aufgabe zu verbessern. Dauert aber noch eine Weile bis Sie fertig wird, da ich auch noch auf Klausuren lernen muss. Ich gib dir Bescheid, wenn ich fertig bin. Außerdem siehe meinen neuen Kommentar von heute.
LG,
Nish
Nish 2017-06-26 11:20:52
Notiz: Aufgabe 9 ist jetzt die Aufgabe 2. Die Lösung wurde noch nicht überarbeitet...
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Zu topic-folder Aufgaben zur Konstruktion von geometrischen Objekten: Aufgabenordner Aufgaben zur Konstruktion von geometrischen Objekten
Renate 2015-05-27 12:50:35
Ich finde, es ist nicht so günstig, nur einen gemeinsamen Ordner "Aufgaben zur Konstruktion von geometrischen Objekten" zu haben.
Man sollte hier meiner Meinung nach schon etwas nach der Art der Objekte aufteilen
- Z.B. Aufgaben zur Konstruktion von Dreiecken, Aufgaben zur Konstruktion von Winkeln, ... von Vierecken, von ??? / sonstige Konstruktionsaufgaben.

Was haltet ihr davon?
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