Eine Kugel ist im dreidimensionalen Raum das, was im zweidimensionalen Raum ein Kreis ist.
Ihr begegnet man überall und jederzeit. Man könnte bei Vollmond mit einem Basketball in der einen Hand und einem runden Apfel in der anderen Hand spazieren gehen und wäre nur von Kugeln umgeben!

Seifenblase

Kreis %%\qquad \qquad \rightarrow%%

Kugel

Mittelpunkt %%M%%

denselben Abstand von Kreislinie zum Mittelpunkt %%M = (x|y)%%

denselben Abstand von Kugeloberfläche zum Zentrum %%M = (x|y|z)%%

Radius %%r%%

Strecke %%r%% zwischen einem Punkt %%P%% auf der Kreislinie zu %%M%%
%%r=\overline{PM}%%

Strecke %%r%% zwischen einem Punkt %%P%% auf der Kugeloberfläche zu %%M%%
%%r = \overline{PM}%%

Dimension

Ein Kreis befindet sich auf einer Ebene.

Eine Kugel befindet sich in einem Raum.

Zusammenfassung

Bei einem Kreis haben alle Punkte auf einer Ebene denselben Abstand %%r%% zum Mittelpunkt %%M%%.

Bei einer Kugel haben alle Punkte in einem Raum denselben Abstand %%r%% zum Zentrum %%M%%.

Formelsammlung

Volumen

Wenn man wissen möchte, wie viel Rauminhalt eine Kugel hat, so muss man das Volumen berechnen.

$$V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$$

Volumen eines Kreises

Beispiel

Berechne das Volumen einer Billardkugel, die einen Durchmesser %%d%% von %%57,2 \; \mathrm{mm}%% hat.

Bevor du deinen gegebenen Wert sofort in die neue Formel einzusetzt, musst du dir klar machen, dass sich ein Kreis und eine Kugel hinsichtlich Radius und Durchmesser nicht unterscheiden.

Billard

$$r = \frac{d}{2}$$

Setze den gegebenen Wert ein.

$$r = \frac{57,2 \; \mathrm{mm}}{2}$$

$$r = 28,6 \; \mathrm{mm}$$

$$V_{Billardkugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$$

Nun kannst du den ausgerechneten Wert in die Volumenformel einsetzen.

%%V_{Billardkugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (28,6 \; \mathrm{mm})^3%%

Rechne anschließend aus und forme ggf. deine Einheit in eine Größere um.

%%V_{Billardkugel} = 9\,7991,1171… \; \mathrm{mm}^3 \approx 98\,000 \; \mathrm{mm}^3 = 98,0 \; \mathrm{cm}^3%%

Die Billardkugel hat also einen Volumen von %%3,426 \; \mathrm{cm}^3%%.

Weitere Aufgaben zur Berechnung von Volumina verschiedener Kugel kann man auch hier finden.

Oberflächeninhalt

Vereinfacht kann man sich eine Oberfläche wie einen Mantel vorstellen, der sich um die geometrische Figur legt. Eine Zeitungsseite kann so zu einem Kegel geformt werden, wenn man sie rollt. Diese Fläche ergibt die Oberfläche.

Wenn man nun die Kugel in Farbe eintaucht, so markiert man dessen Oberflächeninhalt. Mit Hilfe dieser Fläche kann man z. B. ausrechnen, wie viel Gold man braucht, damit man die Kugel auf der Dachspitze vom Olympiaturm vergolden kann.

$$O_{Kugel} = 4 \cdot \pi \cdot r^2$$

Beispiel

Ein offizieller Basketball hat einen Oberflächeninhalt von %%576 \pi \; \mathrm{cm}^2%%. Was ist dann der Radius %%r%%?

Basketball

$$O_{Basketball} = 4 \cdot \pi \cdot r^2$$

Stelle zunächst nach dem Wert %%r^2%% um.

$$r^2 = \frac{O_{Basketball}}{4 \cdot \pi}$$

Ziehe anschließend die Wurzel, damit am Ende wirklich das Gesuchte rauskommt.

$$r = \sqrt{\frac{O_{Basketball}}{4 \cdot \pi}}$$

Setze nun den gegeben Wert ein.

$$r = \sqrt{\frac{576 \pi \; \mathrm{cm}^2}{4 \cdot \pi}} = 12 \; \mathrm{cm}$$

Der Radius eines Basketballs ist also %%12 \; \mathrm{cm}%%.

Hier und hier kann man auch weitere Aufgaben zu der Oberflächenberechnung finden.

Kugelumfang

Der Kugelumfang ist der Umfang an der breitesten Stelle der Kugel. Diese entspricht einem Kreis. Man legt sozusagen ein Maßband um die geometrische Figur und misst die Breite.

$$U_{Kugel} = 2 \cdot \pi \cdot r$$

Beispiel

Welchen Umfang hat eine Eiskugel mit dem Radius %%r = 2 \; \mathrm{cm}%%?

Eiskugel

$$U_{Eiskugel} = 2 \cdot \pi \cdot r$$

Setze den Wert %%r%% ein.

$$U_{Eiskugel} = 2 \cdot \pi \cdot 2 \; \mathrm{cm} = 4 \pi \; \mathrm{cm}$$
Eine Eiskugel hat den Umfang von %%4 \pi \; \mathrm{cm}%%.

Weitere Aufgaben kann man auch hier und hier finden.

Exkursion: Kugel als Punktmenge

Eine Menge fasst Objekte mit denselben Eigenschaften zusammen. So bilden bspw. positive ganze Zahlen die Menge der natürlichen Zahlen %%\mathbb{N}%%.

Was ist eine Punktmenge?

Dieses Konzept von Mengen lässt sich auch auf die Kugel übertragen: Man muss die Kugel nicht nur wie oben als das im dreidimensionalen Raum definieren, was im zweidimensionalen Raum der Kreis ist. Stattdessen führt man die Punktmenge ein. Sie ist, wie der Name sagt, eine Menge, die aus Punkten besteht. In dieser Menge sind alle Punkte beinhaltet, die ein Element der Kugel sind.

Herleitung der Punktmenge

Sei also %%P = (a|b|c)%% ein Punkt. Dieser liegt auf der Kugeloberfläche. Somit ist sie ein Bestandteil der Kugel %%K%%. Man schreibt dafür: %%P \in K%%
Wenn man nun alle Punkte %%P_1, \; P_2, \; P_3, \; \ldots%% findet, die auf der Kugeloberfläche liegen, so fällt auf, dass diese Punkte vom Zentrum %%M%% der Kugel den gleichen Abstand %%r = \overline{PM}%% haben.
Da %%P_1, \; P_2, \; P_3, \; \ldots%% dieselbe Eigenschaft haben und eine Kugel bilden, bildet man aus diesen eine Menge. Besser gesagt stellt man die Kugel als eine Punktmenge dar.

Somit ist eine Kugel %%K%% mit dem Mittelpunkt %%M = (0|0|0)%% und dem Radius %%r%% ist definiert als $$K=\left\{ (a, b, c)\in ℝ^3\left| \; a^2 \; + \; \right.b^2 \; + \; c^2= r^2\right\}$$

Warum sieht die Menge so aus? %%-%% Betrachtung im Zweidimensionalen

Man betrachte ein rechtwinkliges Dreieck und lege ihn in ein Kreis.

Die Strecken %%a%% und %%b%% sind die Koordinaten des Punktes %%P = (a|b)%%. Die Strecke %%\overline{MP}%% hat dieselbe Länge wie der Radius %%r%% des Kreises, sodass %%r = \overline{MP}%% gilt.

Anhand von dem Satz des Pythagoras gilt $$r^2 = a^2 + b^2$$

Veranschaulichung im Zweidimensionalen

Übergang zum Dreidimensionalen

Das Ganze stelle man sich nun im Dreidimensionalen vor. Da der Punkt %%P%% nun eine dritte Koordinate %%c%% hat, muss man den Satz des Pythagoras um eine Dimension erweitern, sodass gilt $$r^2 = a^2 + b^2 + c^2$$ So kann man mit der neuen Erweiterung die Punktmenge definieren: $$K=\left\{ (a, b, c)\in ℝ^3\left| \; a^2 \; + \; \right.b^2 \; + \; c^2= r^2\right\}$$

Kommentieren Kommentare

Zu article Kugel:
Sogari 2018-03-10 16:49:57
Bei der Aufgabe mit der Billiard-Kugel wurde mit 28,6² anstatt 28,6³ gerechnet. Das richtige Ergebnis sind ~98000mm³.
Nish 2018-03-13 09:12:27
Vielen Dank, du hast recht! Hättest du Lust und Zeit, es selber zu verbessern? ;) Ich würde dir auch sehr gerne weiterhelfen, falls du Unterstützung hierbei brauchst. Du musst auf den Bearbeitungsbutton am Anfang des Artikels klicken.

LG,
Nish
Nish 2018-03-25 16:24:49
Ich habe es eben selber ausgebessert. Danke nochmal!
LG,
Nish
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Zu article Kugel:
Renate 2018-01-24 14:06:40
Einem Schüler von mir ist gerade aufgefallen. dass im Beispiel mit der Billardkugel (bei "Volumen") ein Fehler ist:
Statt 3/4 muss es in der Formel 4/3 heißen.

Gruß
Renate
Rebi 2018-01-27 22:29:52
Hallo Renate,
vielen Dank für euren Hinweis! Ich habe es nun ausgebessert.
LG Rebi
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Zu article Kugel: Aufgabenstellung
SebSoGa 2016-07-21 15:14:03
Liebes Serlo-Team,
dieser Artikel ist sehr schön gemacht!
Eine kleine Anmerkung habe ich doch, und zwar bei den Spoilern mit den Aufgaben steht zwar auf dem Knopf was bei der Gruppe von Aufgaben zu tun ist, aber es ist vielleicht nicht ganz deutlich, dass die Informationen wie "Durchmesser 3cm" oder "Oberfläche 10cm^2" (siehe ersten Spoiler) gegeben sind um daraus die Lösung zu entwickeln.

Man könnte vielleicht jeweils einen Satz am Anfang des Spoiler-Inhalts schreiben, indem gesagt wird, dass diese Informationen gegeben sind.

An sonsten ist der Artikel toll!

Viele Grüße
Sebastian
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