Definition (Lineare Abbildung)
Seien V\color {Orange}V und W\color {Purple}W Vektorräume über demselben Körper KK. Dabei seien +V ⁣:V×VV{\color {Orange}+_{{}_{V}}}\colon {\color {Orange}V}\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V} und +W ⁣:W×WW{\color {Purple}+_{{}_{W}}}\colon {\color {Purple}W}\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W} die jeweiligen inneren Verknüpfungen.
Weiter seien V ⁣:K×VV{\color {Orange}\cdot _{{}_{V}}}\colon K\times {\color {Orange}V}\to {\color {Orange}V} und W ⁣:K×WW{\color {Purple}\cdot _{{}_{W}}}\colon K\times {\color {Purple}W}\to {\color {Purple}W} die skalaren Multiplikationen.

Nun sei f ⁣:VWf\colon {\color {Orange}V}\to {\color {Purple}W} eine Abbildung zwischen diesen Vektorräumen. Wir nennen ff eine lineare Abbildung von V{\color {Orange}V} nach W{\color {Purple}W}, wenn die folgenden beiden Eigenschaften erfüllt sind:
  1. Additivität: Für alle v1,v2Vv_{1},v_{2}\in V gilt, dass f(v1+Vv2)=f(v1)+Wf(v2)f\left(v_1 {\color{Orange} +_{{}_V} } v_2\right)=f(v_1) {\color{Purple} +_{{}_W}} f(v_2)
  2. Homogenität: Für alle vVv\in V und λK\lambda \in K gilt, dass f(λVv)=λWf(v)f(\lambda {\color{Orange} \cdot_{{}_V}} v) = \lambda {\color{Purple} \cdot_{{}_W}} f(v)
Hinweis
Wenn es aus dem Kontext klar ist, schreiben wir zukünftig auch einfach „++“ anstatt +V{\color{Orange} +_{{}_V} } und +W{\color{Purple} +_{{}_W}}. Ebenso wird häufig „\cdot“ anstelle von V{\color{Orange} \cdot_{{}_V}} und W{\color{Purple} \cdot_{{}_W}} verwendet. Manchmal wird der Punkt für die skalare Multiplikation auch ganz weggelassen.
Hinweis
In der Literatur wird für den Begriff ''lineare Abbildung'' auch der Begriff ''Vektorraumhomomorphismus'' oder kurz ''Homomorphismus'' genutzt. Das altgriechische Wort homós steht für „gleich“, morphé steht für „Form“. Wörtlich übersetzt ist ein ''Vektorraumhomomorphismus'' also eine Abbildung zwischen Vektorräumen, welche die „Form“ der Vektorräume gleich lässt.

Erklärung zur Definition

Die charakteristischen Gleichungen der linearen Abbildung sind f(v1+v2)=f(v1)+f(v2)f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2}) und f(λv)=λf(v)f(\lambda \cdot v)=\lambda \cdot f(v). Was bedeuten diese beiden Eigenschaften intuitiv? Nach der Additivitätseigenschaft ist es egal, ob man v1v_{1} und v2v_{2} zuerst addiert und dann abbildet oder ob man beide Vektoren erst abbildet und dann addiert. Beide Wege führen zum selben Ergebnis:

f(v1+v2Addition)Funktionsabbildung =f(v1)Funktionsabbildung+f(v2)FunktionsabbildungAddition\displaystyle {\color {208000}\underbrace {f({\color {Blue}\underbrace {v_{1}+v_{2}} _{\text{Addition}}})} _{\text{Funktionsabbildung }}}={\color {Blue}\underbrace {{\color {208000}\underbrace {f(v_{1})} _{\text{Funktionsabbildung}}}+{\color {Green}\underbrace {f(v_{2})} _{\text{Funktionsabbildung}}}} _{\text{Addition}}}
Was besagt die Homogenitätseigenschaft? Unabhängig davon ob man zuerst vv mit λ\lambda multipliziert und dann abbildet oder den Vektor erst abbildet und dann mit λ\lambda multipliziert, ist das Ergebnis das Gleiche:

f(λvskalare Multiplikation)Funktionsabbildung =λf(v)Funktionsabbildungskalare Multiplikation\displaystyle {\color {208000}\underbrace {f({\color {Blue}\underbrace {\lambda \cdot v} _{\begin{array}{c}{\text{skalare Multiplikation}}\end{array}}})} _{\begin{array}{c}{\text{Funktionsabbildung }}\end{array}}}={\color {Blue}\underbrace {\lambda \cdot {\color {208000}\underbrace {f(v)} _{\text{Funktionsabbildung}}}} _{\text{skalare Multiplikation}}}
Die charakteristischen Eigenschaften der linearen Abbildungen verdeutlichen also, dass die Reihenfolge der Funktionsabbildung und der Vektorraumoperationen egal ist.

Zusammenhang mit linearen Funktionen und affinen Abbildungen

Lineare Funktionen wurden in der Schule als Funktionen der Form f(x)=mx+tf(x)=mx+t mit m,tRm,t\in \mathbb {R}. Es handelt sich dabei nicht um lineare Abbildungen. Sie sind es nur für t=0t=0. So ist zum Beispiel für t=2t=2:
f(x+y)=x+y+2x+y+2+2=f(x)+f(y)\displaystyle f(x+y)=x+y+2\neq x+y+2+2=f(x)+f(y)
Dass die in der Schule geläufigen linearen Funktionen dennoch etwas mit den linearen Abbildungen zu tun haben, wird einem klar, wenn man die linearen Abbildungen von f:RRf:\mathbb {R}\to \mathbb {R} betrachtet. Diese sind Abbildungen der Form f(x)=mxf(x)=mx mit mRm\in \mathbb {R}. Die Funktionen der Form f(x)=mx+tf(x)=mx+t aus der Schule sind sogenannte affin-lineare Abbildungen:
Sie sind die Summe einer linearen Abbildung und eines konstanten Terms tt.
Affine Abbildung bilden Geraden auf Geraden ab und erhalten dabei Parallelität und Teilverhältnisse von Strecken.
Wir können jede affine Abbildunge xA(x)x\mapsto A(x) immer in eine lineare Abbildung xL(x) x\mapsto L(x) und eine Translation xx+tx\mapsto x+t zerlegen. Es gilt also A(x)=L(x)+tA(x)=L(x)+t. Weil die Translationen xx+tx\mapsto x+t einfach zu beschreiben sind, ist der lineare Teil meistens interessanter. In der Theorie schauen wir uns deswegen nur den linearen Teil an, um nicht das x+tx+t mitzuschleppen.
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