In einem Großversuch wurde ein Medikament getestet. Die Ergebnisse sind in einer Tabelle festgehalten. Dabei bedeuten:

  • %%M%%: Medikament genommen

  • %%\overline M%% : Placebo genommen

  • %%G%%: Gesund geworden

  • %%\overline G%% : nicht gesund geworden

%%G%%

%%\overline G%%

Summe

%%M%%

%%6312%%

%%87%%

%%6399%%

%%\overline M%%

%%312%%

%%4390%%

%%4702%%

Summe

%%6624%%

%%4477%%

%%11101%%

Zu text-exercise-group 11209:
Nish 2018-07-18 21:15:09
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Alle Teilaufgaben sollten nochmals nach den aktuellen Aufgabenlösungsrichtlinien (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden.
LG,
Nish
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Stelle die relativen Häufigkeiten in einer 4-Feldtafel dar und die dazugehörigen Baumdiagramme.

Erstellen der Vierfeldertafel:

%%G%%

%%\overline G%%

Summe

%%M%%

%%\frac{6312}{11101}=0,5686%%

%%\frac{87}{11101}=0,0078%%

%%\frac{6399}{11101}=0,5764%%

%%\overline M%%

%%\frac{312}{11101}=0,0281%%

%%\frac{4390}{11101}=0,3955%%

%%\frac{4702}{11101}=0,4236%%

Summe

%%\frac{6624}{11101}=0,5967%%

%%\frac{4487}{11101}=0,4033%%

%%1%%


Erstellen des 1. Baumdiagramms:

Die erste Spalte des Baumdiagramms kannst du in der Vierfelder Tafel ablesen.

Baumdiagramm 1. Schritt

Die Pfadwahrscheinlichkeiten in der zweiten Spalte kannst du mithilfe der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen: $$P(M\vert G)=\dfrac{P(M\cap G)}{P(M)}\approx\dfrac{56,86 \,\%}{57,64\,\%}\approx 0,9864 \approx 98,64\,\%$$

Genauso kannst du jetzt die Wahrscheinlichkeiten für %%P(M \vert\overline G);P(\overline M \vert G);P(\overline M \vert\overline G)%% ausrechnen.

$$P(M\vert \overline G)=\dfrac{P(M\cap \overline G)}{P(M)}\approx\dfrac{0,78 \,\%}{57,64\,\%}\approx 0,0136 \approx 1,36\,\%$$

$$P(\overline M\vert G) =\dfrac{P(\overline M\cap G)}{P (\overline M)}\approx\dfrac{2,81 \,\%}{42,36\,\%}\approx 0,0664 \approx 6,63\,\%$$

$$P(\overline M\vert \overline G)=\dfrac{P(\overline M\cap \overline G)}{P (\overline M)}\approx\dfrac{39,55 \,\%}{42,36\,\%}\approx 0,9336 \approx 93,36\,\%$$

Baumdiagramm 2. Schritt

Nun kannst du das Baumdiagramm vervollständigen. Dazu musst du nur noch mithilfe der 1. Pfadregel die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ausrechnen $$P(M;G) \approx 57,64\%\cdot 98,64\% \approx 56,86\%$$ $$P(M;\overline G) \approx 57,64\% \cdot 1,36\% \approx 0,78\%$$ $$P(\overline M;G) \approx 42,36\% \cdot 6,64\% \approx 2,81\%$$ $$P(\overline M;\overline G) \approx 42,36\% \cdot 93,36\% \approx 39,55\%$$

Baumdiagramm 3. Schritt

Erstellen des 2. Baumdiagramms:

Die erste Spalte des Baumdiagramms kannst du in der Vierfelder Tafel ablesen.

Baumdiagramm 2 1. Schritt

Die Pfadwahrscheinlichkeiten in der zweiten Spalte kannst du mithilfe der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen: $$P(G\vert M)\approx\dfrac{P(G\cap M)}{P(G)}\approx\dfrac{56,86 \,\%}{59,67\,\%}\approx 0,9529\approx 95,29\,\%$$

Genauso kannst du jetzt die Wahrscheinlichkeiten für %%P(G \vert\overline M);P(\overline G \vert M);P(\overline G \vert\overline M)%% ausrechnen.

$$P(G\vert \overline M)\approx\dfrac{P(G\cap \overline M)}{P(G)}\approx\dfrac{2,81 \,\%}{59,67\,\%}\approx 0,0471 \approx 4,71\,\%$$

$$P(\overline G\vert M)\approx\dfrac{P(\overline G\cap M)}{P (\overline G)}\approx\dfrac{0,78 \,\%}{40,33\,\%}\approx 0,0196 \approx 1,96\,\%$$

$$P(\overline G\vert \overline M)\approx\dfrac{P(\overline G\cap \overline M)}{P (\overline G)}\approx\dfrac{39,55 \,\%}{40,33\,\%}\approx 0,9807 \approx 98,07\,\%$$

Baumdiagramm 2 Schritt 2

Nun kannst du das Baumdiagramm vervollständigen. Dazu musst du nur noch mithilfe der 1. Pfadregel die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ausrechnen $$P(G;M) \approx 59,76\%\cdot 95,29\% \approx 56,94\%$$ $$P(G;\overline M)\approx 59,76\% \cdot 3,71\% \approx 2,21\%$$ $$P(\overline G;M) \approx40,33\% \cdot 1,96\% \approx0,79\%$$ $$P(\overline G;\overline M) \approx 40,33\% \cdot 98,07\% \approx 39,55\%$$

Baumdiagramm 2 Schritt 3

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Person, von der man weiß, dass sie das Medikament eingenommen hat, zu genesen?

Zuerst überlegt man, was für eine Wahrscheinlichkeit gesucht ist.

Man sucht die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person genesen wird unter der Bedingung, dass sie das Medikament eingenommen hat.

Das ist %%P_M(G)%%

Verwende die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

%%\displaystyle = \frac{P( M \cap G)} {(P(M)}%%

Ließ die Werte aus der Vierfeldertafel ab

%%\displaystyle = \frac{\frac{6312} {11101}} {\frac{6399} {11101} }= \frac{6312} {6399}= 0,9864%%

Alternativlösung

Da in Teilaufgabe a) schon das Baumdiagramm gezeichnet wurde, lässt sich aus diesem auch ganz einfach %%\displaystyle P_M(G)%% ablesen. Du findest den Wert in der zweiten Ebene am obersten Zweig.
%%\rightarrow \displaystyle P_M(G) = 0,9864%%

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einer Person, von der man weiß, dass sie das Placebo eingenommen hat, nicht zu genesen?

Zuerst überlegt man sich, welche Wahrscheinlichkeit gesucht ist. Hier sucht man diejenige mit der ein Person, von der man weiß, dass sie einen Placebo genommen hat, nicht gesund geworden ist.

Das ist %%P_ \overline {M} ( \overline G)%%

Verwende die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit

%%\displaystyle =\frac{P ( \overline M \cap \overline G)} {P( \overline M)}%%

Ließ die Werte aus der Vierfeldertafel ab.

%%=\frac{\frac{4390}{11101}}{\frac{4702}{11101}}=\frac{4390}{4702}=0,9336%%

Alternativlösung

In Teilaufgabe a) wurde schon das Baumdiagramm erstellt. Hieraus lässt sich %%P_ \overline {M} ( \overline G)%% ablesen. Man findet den Wert in der zweiten Ebene, der unterste Zweig.
%%\rightarrow P_ \overline {M} ( \overline G)= 0,9336%%