Das Baumdiagramm ist ein praktisches Hilfsmittel, um die verschiedenen möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments übersichtlich aufzuschreiben.

Verwendet wird es sinnvollerweise dann, wenn ein Experiment aus mehreren Schritten besteht (wie zum Beispiel das Werfen einer Münze und danach eines Würfels, oder das mehrmalige Werfen einer Münze o.ä.).

Baumdiagramm

Bei einem solchen mehrstufigen (oder zusammengesetzten) Zufallsexperiment kann man mit einem Baumdiagramm

  • die Ergebnisse des zusammengesetzten Experiments
  • und die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse

aus den Ergebnissen bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Einzelexperimente ermitteln.

Vom Zufallsexperiment zum Baumdiagramm

Oft ist es nicht so einfach, von einer Sachsituation zu einem Baumdiagramm zu kommen. Deshalb hier ein paar Tipps:

  • Überlege dir, was die Stufen in deinem Baum sind und was die Ereignisausprägungen.

  • Die Stufen sind zum Beispiel aufeinanderfolgende Handlungen (1./2./3. Würfelwurf, mehrmals Ziehen,…) oder Entscheidungen ( erst wählt man eine Tür, dann eine Kiste,…).

  • Die Ereignisausprägungen sind die verschiedenen Möglichkeiten, die sich gegenseitig ausschließen (Augenzahlen beim Würfel, Kugelfarben, Antwortmöglichkeiten bei Fragen,…)

Baumdiagramm

Pfad

Der Pfad im Baum entspricht einem Weg durch den Baum. Dabei startet man immer ganz oben am Start und geht (bis auf wenige Ausnahmen) auch bis zur untersten Stufe.

Würfelt man zum Beispiel drei Mal, dann entspricht jedes mögliche Ergebnis (zum Beispiel 123, 541,…) einem Pfad.

Im Artikel Abzählen mit dem Baumdiagramm kann man nachlesen, wie ein Baumdiagramm verwendet werden kann, um die Anzahl der verschiedenen Ergebnisse zu bekommen. Möchte man mehr über die Wahrscheinlichkeiten wissen, so benötigt man oft die Pfadregeln:

Pfadregeln

1. Pfadregel

Um die Wahrscheinlichkeit für einen ganz bestimmten Versuchsausgang zu erhalten, müssen die Wahrscheinlichkeiten entlang des jeweiligen Pfades multipliziert werden.

2. Pfadregel

Soll die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das mehrere Versuchsausgänge umfasst, berechnet werden, müssen die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Versuchsausgänge addiert werden.

Beispiele

Beispiel 1: Zweimaliges Werfen eine Würfels

Baumdiagramm und Pfadregeln

Die Wahrscheinlichkeit für "zweimal 6" lässt sich einfach aus dem Baumdiagramm ablesen:

%%P\left(\left\{\left(6;6\right)\right\}\right)=\frac1{36}%%

Mit Hilfe beider Pfadregeln lässt sich auch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses C="zuerst eine 6" berechnen:

%%\begin{array}{l}P\left(C\right)=P\left(\left\{\left(6;\overline6\right);\left(6;6\right)\right\}\right)=\frac5{36}+\frac1{36}=\frac16\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\end{array}%%

 

Beispiel 2: Zweimaliges Ziehen ohne Zurücklegen

Zweimaliges Ziehen von Losen ohne Zurücklegen, die entweder Treffer oder Niete sein können. Es gibt 20 Lose, von denen 5 Treffer sind.

Baumregel und Pfadregeln

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer:

Mit %%E=\left\{\left(T;T\right)\right\}%%  gilt:

 

%%P(E)=\frac5{20}\cdot\frac4{19}=\frac1{19}=5,3\%%%

Erklärung:

Nach dem ersten Ziehen stehen nicht mehr 20, sondern nur noch 19 Lose zur Verfügung. Deshalb ändert sich der Nenner.

 

Berechnung der Wahrscheinlichkeit für "Höchstens einmal Niete":

Mit  %%A=\left\{\left(T;T\right),\;\left(T;N\right),\left(N;T)\right)\right\}%%  gilt (Addition der einzelnen Elementarwahrscheinlichkeiten):

 

%%P(A)=P\left(\left\{(T;T)\right\}\right)+P\left(\left\{(T;N)\right\}\right)+P\left(\left\{(N;T)\right\}\right)%%

%%P(A)=\frac5{20}\cdot\frac4{19}+\frac5{20}\cdot\frac{15}{19}+\frac{15}{20}\cdot\frac5{19}=\frac{17}{38}=44,7\% %%

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Zu article Baumdiagramm und Pfadregeln: Verbesserungsvorschläge
SebSoGa 2016-07-26 12:50:57
Liebes Serlo-Team


- Vor den Regeln würde ich noch eine Beispielgraphik für ein Baumdiagramm einfügen.
- Man sollte noch weitere Verwendungen als die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten angeben:
Pfadregeln sind konkret für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten obwohl explizit drin steht, dass ein Baumdiagramm für einiges mehr benutzt werden kann.

Alternativvorschlag: Artikel in “Baumdiagramme in der Stochastik” umbenennen und für den allgemeineren Begriff einen anderen schreiben.

- Auf alle Fälle sollte erklärt werden wie ein Baumdiagramm erstellt oder gelesen wird, dieser Artikel geht sonst davon aus, dass man mit einem Baumdiagramm umgehen kann.

Viele Grüße
Sebastian
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