Aufgaben

Berechne folgende Fakultäten

Berechne

%%\frac{4!}{2!}%%

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

%%\frac{9!}{5!}%%

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

%%\frac{5! \cdot 7!}{8!}%%

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Berechne Fakultäten

Zur Lösung der Aufgabe ist der Artikel zum Thema Fakultät hilfreich.

%%\frac{5!\cdot7!}{8!}=\frac{(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)(7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)}{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}%%

Hier ist es einfacher erst zu kürzen.

%%\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}8=\frac{120}8=15%%

%%\frac{2!\cdot3!}{9!}%%

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Berechne Fakultäten

Für die Lösung der Aufgabe ist der Artikel zum Thema Fakultät hilfreich.

%%\frac{2!\cdot3!}{9!}=\frac{(2\cdot1)(3\cdot2\cdot1)}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}%%

Hier ist es einfacher erst zu kürzen.

%%\frac{(2\cdot1)}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4}=\frac2{60\,480}=\frac1{30\,240}%%

Berechne n! für alle %%n\leq10%% .

Berechne Fakultäten

Siehe auch Informationen zum Thema Fakultät im entsprechenden Artikel.

Benutze hier die Definition der Fakultät um nicht in jedem Schritt von vorne anfangen zu müssen.

%%1!=1%%

%%2!=2\cdot1=2%%

%%3!=3\cdot2\cdot1=3\cdot2!=3\cdot2=6%%

%%4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=4\cdot3!=4\cdot6=24%%

%%5!=5\cdot4!=5\cdot24=120%%

%%6!=6\cdot5!=6\cdot120=720%%

%%7!=7\cdot6!=7\cdot720=5040%%

%%8!=8\cdot7!=8\cdot5040=40320%%

%%9!=9\cdot8!=9\cdot40320=362880%%

%%10!=10\cdot9!=10\cdot362880=3628800%%

Die elf Mädchen der 5a lassen sich fotografieren.

  1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die jungen Damen, sich nebeneinander aufzustellen?

  2. Wie viele verschieden Aufstellungen gibt es, wenn zusätzlich noch zwei Lehrerinnen mit auf das Bild sollen? Wie viele Tage dauert es, alle Aufstellungen auszuprobieren, wenn man für jede Anordnung eine Minute benötigt? Wie viele Jahre sind das ungefähr?

Berechne mittels Fakultät

Hilfreich hierzu könnte der Artikel zum Thema Fakultät sein.

Teilaufgabe 1

Allgemein gilt, dass es um n Objekte in einer Reihe anzuorden n! Möglichkeiten gibt.

%%11!=39\,916\,800%%

Teilaufgabe 2

%%13!=6\,227\,020\,800%%

%%6\,227\,020\,800\;\text{Minuten}=4\,324\,320\;\text{Tage}\approx11\,847\;\text{Jahre}%%

Die Zahl 1000! hat am Ende viele Nullen. Wie viele sind es?

1000! enthält sicher öfter den Faktor 2 als den Faktor 5. Jedes Paar aus den Faktoren 2 und 5 ergibt eine Schlussnull. Die Zahl der Schlussnullen ist also gleich der Anzahl aller Primfaktoren 5.

Die Zahlen von 1 bis 1000 enthalten %%1000:5=200%% Vielfache von 5.

%%200:5=40%% dieser Zahlen sind Vielfache von 25 und enthalten damit einen weiteren Faktor 5.

%%40:5=8%% der Vielfachen von 25 sind sogar Vielfache von 125 und enthalten deshalb noch einen weiteren Faktor 5.

Außerdem liefert die Zahl %%625=5^4%% noch einen weit+eren Faktor 5.

Insgesamt hat man also %%200+40+8+1=249%% mal den Faktor 5, also genau so viele Schlussnullen.

Nur zur Information: 1000! hat 2568 Stellen.

Auf wie viele Nullen endet das Ergebniss von

a) 10!
b) 20!

Die Nullen ergeben sich durch Faktorenpaare, die jeweils 10 ergeben.

a) In 10! kommt der Faktor 5 zweimal vor, der Faktor 2 mehr als zweimal %%\Rightarrow%% zwei Nullen am Ende.
b) In 20! kommt der Faktor 5 viermal vor, der Faktor 2 mehr als viermal %%\Rightarrow%% vier Nullen am Ende.

Wie oft enthält 30! den Primfaktor 3?

Fakultät

Im entsprechenden Artikel zum Thema Fakultät findest du hilfreiche Informationen zur Bearbeitung dieser Aufgabe.

30! enhält 10 Faktoren, die ein Vielfaches von 3 sind, 3 Faktoren, die ein Vielfaches von %%3^2=9%% sind und einen Faktor, der ein Vielfaches von %%3^3=27%% ist.

Insgesamt enthält 30! also %%10+3+1=14%% mal den Faktor 3.

Wie oft kann man 50! ohne Rest durch zwei teilen?

Fakultät

Der Artikel zum Thema Fakultät kann bei der Bearbeitung dieser Aufgabe hilfreich sein.

%%50!%% enthält 25 gerade Faktoren, die also durch 2 teilbar sind, da jeder zweite Faktor eine gerade Zahl ist. Außerdem gibt es 12 Faktoren, die durch 4 teilbar sind; 6 Faktoren, die durch 8 teilbar sind; 3 Faktoren, die durch 16 teilbar sind und 1 Faktor, der durch 32 teilbar ist.

Insgesamt enthält %%50!%% also %%25+12+6+3+1=47%% mal den Faktor 2.

Es gilt %%20!=2\,432\,902\,008\,176\,640\,000%%.

Berechne 21!.
Wie heißt das Ergebnis in Worten?

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Diese Lösung ist nicht richtig.

Die Lösung ist richtig!

Fast. Das sind noch nicht alle richtigen Antworten!

Fakultät

Der entsprechend Artikel zum Thema Fakultät kann hilfreich sein.

%%21!=21\cdot20!=21\;\cdot\;2\,432\,902\,008\,176\,640\,000%%
%%=51\,090\,942\,171\,709\,440\,000%%

In Worten: einundfünfzig Trillionen neunzig Billiarden neunhundertzweiundvierzig Billionen hunderteinundsiebzig Milliarden siebenhundertneun Millionen vierhundertvierzig Tausend

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