Herleitung der Formel Beispiel: Ein Würfel wird zehnmal geworfen und festgestellt, ob eine Sechs gewürfelt wurde.
"eine Sechs würfeln" bezeichnet man als Treffer k k k Wahrscheinlichkeit , einen Treffer zu landen, ist p = 1 6 p=\frac16 p = 6 1 n = 10 n=10 n = 10
Man kann sich überlegen, wie eine Reihe von zehn Würfen mit vier Sechsen aussehen kann, z.B.:
6 , 6 , 6 , 6 , 6 ‾ , 6 ‾ , 6 ‾ , 6 ‾ , 6 ‾ , 6 ‾ 6{,}6,6{,}6,\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6} 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6
6 ‾ , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 ‾ , 6 ‾ , 6 ‾ , 6 ‾ , 6 ‾ \overline{6},6{,}6,6{,}6,\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6},\overline{6} 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6
6 , 6 ‾ , 6 , 6 ‾ , 6 , 6 ‾ , 6 ‾ , 6 ‾ , 6 , 6 ‾ 6,\overline{6},6,\overline{6},6,\overline{6},\overline{6},\overline{6},6,\overline{6} 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6 , 6
wobei 6 ‾ \overline{6} 6
Alle Möglichkeiten aufzuzählen, dauert lange. Sehr lange. Schneller geht es, wenn man direkt die Wahrscheinlichkeiten betrachtet.
Die Wahrscheinlichkeit für den oben als erstes aufgelisteten Fall ist:
1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 = ( 1 6 ) 4 ⋅ ( 5 6 ) 6 \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^6 6 1 ⋅ 6 1 ⋅ 6 1 ⋅ 6 1 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 = ( 6 1 ) 4 ⋅ ( 6 5 ) 6
Die Wahrscheinlichkeit für den zweiten ist:
5 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 = ( 1 6 ) 4 ⋅ ( 5 6 ) 6 \frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^6 6 5 ⋅ 6 1 ⋅ 6 1 ⋅ 6 1 ⋅ 6 1 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 = ( 6 1 ) 4 ⋅ ( 6 5 ) 6
und für den dritten:
1 6 ⋅ 5 6 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 5 6 ⋅ 1 6 ⋅ 5 6 = ( 1 6 ) 4 ⋅ ( 5 6 ) 6 \frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^6 6 1 ⋅ 6 5 ⋅ 6 1 ⋅ 6 5 ⋅ 6 1 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 1 ⋅ 6 5 = ( 6 1 ) 4 ⋅ ( 6 5 ) 6
Kurz: alle möglichen Fälle haben dieselbe Wahrscheinlichkeit, nämlich ( 1 6 ) 4 ⋅ ( 5 6 ) 6 \left(\frac16\right)^4\cdot\left(\frac56\right)^6 ( 6 1 ) 4 ⋅ ( 6 5 ) 6
Es bleibt nur die Frage, wie viele Fälle es gibt! Wie viele Möglichkeiten gibt es 4 aus 10 auszuwählen?
⇒ ( 10 4 ) = 10 ! 4 ! ⋅ ( 10 − 4 ) ! = 210 \Rightarrow \binom{10}{4}=\displaystyle\frac{10!}{4!\cdot(10-4)!}=210 ⇒ ( 4 10 ) = 4 ! ⋅ ( 10 − 4 )! 10 ! = 210
Insgesamt sieht die Berechnung der Wahrscheinlichkeit also so aus:
P ( "4 mal 6 in 10 W u ¨ rfen" ) = ( 10 4 ) ⋅ ( 1 6 ) 4 ⋅ ( 5 6 ) 6 = : B ( 10 , 1 6 , 4 ) \displaystyle P(\text{"4 mal 6 in 10 Würfen"})=\binom{10}{4}\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^6=:B(10,\frac{1}{6},4) P ( "4 mal 6 in 10 W u ¨ rfen" ) = ( 4 10 ) ⋅ ( 6 1 ) 4 ⋅ ( 6 5 ) 6 =: B ( 10 , 6 1 , 4 ) Allgemein: B ( n , p , k ) = ( n k ) ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k B(n,p,k)=\binom nk\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k} B ( n , p , k ) = ( k n ) ⋅ p k ⋅ ( 1 − p ) n − k
Erwartungswert und Varianz Beispiele für Aufgabentypen Im Folgenden sei n = 4 n=4 n = 4 p = 1 3 p=\frac13 p = 3 1
B ( 4 ; 1 3 ; 2 ) = ( 4 2 ) ⋅ ( 1 3 ) 2 ⋅ ( 2 3 ) 2 ≈ 0 , 296 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}B\;(4;\frac13;2)&=&\binom 42\cdot\left(\frac13\right)^2\cdot\left(\frac23\right)^2\\&\approx&0{,}296\end{array} B ( 4 ; 3 1 ; 2 ) = ≈ ( 2 4 ) ⋅ ( 3 1 ) 2 ⋅ ( 3 2 ) 2 0 , 296
2. …höchstens zwei Treffer: \;
B ( 4 ; 1 3 ; k ≤ 2 ) = ( 4 0 ) ⋅ ( 1 3 ) 0 ⋅ ( 2 3 ) 4 + ( 4 1 ) ⋅ ( 1 3 ) 1 ⋅ ( 2 3 ) 3 + ( 4 2 ) ⋅ ( 1 3 ) 2 ⋅ ( 2 3 ) 2 ≈ 0 , 889 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}B(4;\frac{1}{3};k\le2)&=&\binom{4}{0}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^0\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^4+\binom{4}{1}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^1\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^3+\binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2\\&\approx&0{,}889\end{array} B ( 4 ; 3 1 ; k ≤ 2 ) = ≈ ( 0 4 ) ⋅ ( 3 1 ) 0 ⋅ ( 3 2 ) 4 + ( 1 4 ) ⋅ ( 3 1 ) 1 ⋅ ( 3 2 ) 3 + ( 2 4 ) ⋅ ( 3 1 ) 2 ⋅ ( 3 2 ) 2 0 , 889
3. …mindestens zwei Treffer:
B ( 4 ; 1 3 ; k ≥ 2 ) = 1 − B ( 4 ; 1 3 ; k < 2 ) = 1 − B ( 4 ; 1 3 ; k ≤ 1 ) = 1 − ( 4 0 ) ⋅ ( 1 3 ) 0 ⋅ ( 2 3 ) 4 − ( 4 1 ) ⋅ ( 1 3 ) 1 ⋅ ( 2 3 ) 3 ≈ 0 , 407 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}B(4;\frac13;k\geq2)&=&1- B(4;\frac13;k<2)= 1- B(4;\frac13;k\leq 1)\\&=&1-\binom 40\cdot\left(\frac13\right)^0\cdot\left(\frac23\right)^4-\binom 41\cdot\left(\frac13\right)^1\cdot\left(\frac23\right)^3\\&\approx&0{,}407\end{array} B ( 4 ; 3 1 ; k ≥ 2 ) = = ≈ 1 − B ( 4 ; 3 1 ; k < 2 ) = 1 − B ( 4 ; 3 1 ; k ≤ 1 ) 1 − ( 0 4 ) ⋅ ( 3 1 ) 0 ⋅ ( 3 2 ) 4 − ( 1 4 ) ⋅ ( 3 1 ) 1 ⋅ ( 3 2 ) 3 0 , 407
4. …mehr als zwei Treffer:
B ( 4 ; 1 3 ; k > 2 ) = 1 − B ( 4 ; 1 3 ; k ≤ 2 ) ≈ 0 , 111 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}B(4;\frac{1}{3};k>2)&=&1-B(4;\frac{1}{3};k\le2)\\&\approx&0{,}111\end{array} B ( 4 ; 3 1 ; k > 2 ) = ≈ 1 − B ( 4 ; 3 1 ; k ≤ 2 ) 0 , 111
5. …weniger als zwei Treffer:
B ( 4 ; 1 3 ; k < 2 ) = B ( 4 ; 1 3 ; k ≤ 1 ) ≈ 0 , 593 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}B(4;\frac13;k<2)&=&\mathrm B(4;\frac13;k\leq 1)\\&\approx&0{,}593\end{array} B ( 4 ; 3 1 ; k < 2 ) = ≈ B ( 4 ; 3 1 ; k ≤ 1 ) 0 , 593
6. …mehr als einer und weniger als vier Treffer:
B ( 4 ; 1 3 ; 1 < k < 4 ) = B ( 4 ; 1 3 ; 1 < k ≤ 3 ) = B ( 4 ; 1 3 ; k ≤ 3 ) − B ( 4 ; 1 3 ; k ≤ 1 ) ≈ 0 , 395 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}B(4;\frac13;1<k<4)&=& B(4;\frac13;1< k\leq 3)\\&=& B(4;\frac13;k\leq 3)- B(4;\frac13;k\leq 1)\\&\approx&0{,}395\end{array} B ( 4 ; 3 1 ; 1 < k < 4 ) = = ≈ B ( 4 ; 3 1 ; 1 < k ≤ 3 ) B ( 4 ; 3 1 ; k ≤ 3 ) − B ( 4 ; 3 1 ; k ≤ 1 ) 0 , 395
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