Bernoulli-Experiment

Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Versuchsausgängen (= Ergebnissen).

Für ein Bernoulli-Experiment wird eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable $X$ betrachtet. Diese Zufallsvariable lässt nur zwei mögliche Ereignisse (z. B. „ja“/„nein“, „infiziert“/„nicht infiziert“) mit den Wahrscheinlichkeiten $p$ und $q : = 1 - p$ zu.

Benannt ist das Bernoulli-Experiment nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I. Bernoulli (gest. 1705).

Beispiele

Münzwurf: $P („Kopf“) = 0,5 : = p$ $P („Zahl“) = 0,5 = 1 - p .$ Man kann auch $P („Zahl“)$ als $p$ definieren.
Maschinen testen: $P („Maschine funktioniert“) : = p$ $P („Maschine funktioniert nicht“) = 1 - p$ .
Würfel: $P („Die 6 fällt“) : = p = \frac{1}{6}$ $P („Die 6 fällt nicht“) = 1 - p = \frac{5}{6}$

Bernoulli-Verteilung

Definition

Für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable $X$ mit Eintrittswahrscheinlichkeit $p$ gilt

$Ω = {0; 1},$

$P (X = 1) = p; P (X = 0) = 1 - p$

Erwartungswert

Für den Erwartungswert der Bernoulli-verteilten Zufallsvariable $X$ gilt

$E (X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p$

Varianz

Für die Varianz erhält man

$\begin{array}{l} V (X) = E ({(X - E (X))}^{2}) = E ({(X - p)}^{2}) = E (X^{2} - 2 p X + p^{2}) = \\ E (X^{2}) - E (2 p X) + p^{2} = E (X)^{2} - 2 p \cdot E (X) + p^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}$

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion für $X$ lautet

F_{X} (t) = {\begin{matrix} 0 für t < 1 \\ 1 für t \geq 1 \end{matrix}

Es gibt nur zwei Ereignisse. Das Ereignis „ $0$ “ tritt mit Wahrscheinlichkeit $1 - p$ ein und ab $t = 1$ sind beide Ereignisse sicher eingetreten, weshalb dann $F (t) = 1$ gilt.

Aufgabe:

Wenn eine gesunde Person von einem Zombie gebissen wird, verwandelt sie sich mit $85$ -prozentiger Wahrscheinlichkeit innerhalb von $5$ Minuten ebenfalls in einen Zombie.

Bestimme die Zufallsvariable, den Erwartungswert und die Varianz.

Lösung:

Zufallsvariable $X$ : $X (x) = {\begin{matrix} 0, & wenn x = keine Verwandlung, \\ 1, & wenn x = Verwandlung in Zombie . \end{matrix}$

Erwartungswert $E$ : $E (X) = p = P (X = 1) = 0,85$

Varianz $V (X)$ : $V (X) = p \cdot (1 - p) = 0,85 \cdot 0,15 = 0,1275$

Verhältnis zu anderen Verteilungen

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung mit $n = 1$ .

Wiederholt man also ein Bernoulli-Experiment öfter und betrachtet alle Ergebnisse, so sind diese binomialverteilt.

Wiederholte Bernoulli-Experimente

Wird ein Bernoulli-Experiment öfter wiederholt, so spricht man von einem Bernoulli-Prozess oder einer Bernoulli-Kette.

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