Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Versuchsausgängen (= Ergebnissen).

Für ein Bernoulli-Experiment wird eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable %%X%% betrachtet. Diese Zufallsvariable lässt nur zwei mögliche Ereignisse (z.B. "ja - nein", "infiziert - nicht infiziert") mit den Wahrscheinlichkeiten %%p%% und %%q:=1-p%% zu.

Benannt ist das Bernoulli-Experiment nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I. Bernoulli (†1705).

Beispiele

  1. Münzwurf: %%P\left(\text{"Kopf"}\right)=0,5:=p%%
    %%P\left(\text{"Zahl"}\right)=0,5=1-p.%%
    Man kann auch %%P(\text{"Zahl"})%% als %%p%% definieren.

  2. Maschinen testen: %%P(\text{"Maschine funktioniert"}):=p%%
    %%P(\text{"Maschine funktioniert nicht"})=1-p%%.

  3. Würfel: %%\mathrm P\left(\text{"Die 6 fällt"}\right):=p=\frac16%%
    %%\mathrm P\left(\text{"Die 6 fällt nicht"}\right)=1- p=\frac56%%

Bernoulli-Verteilung

Definition

Für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable %%X%% mit Eintrittswahrscheinlichkeit %%p%% gilt

%%\mathrm\Omega=\left\{0;1\right\},\;%%

%%\mathrm P\left(\mathrm X=1\right)=\mathrm p\;\;;\;\;\mathrm P\left(\mathrm X=0\right)=1-\mathrm p%%

Erwartungswert

Für den Erwartungswert der Bernoulli-verteilten Zufallsvariable %%X%% gilt

%%\style{font-size:14px}{\mathrm E\left(\mathrm X\right)=1\cdot\mathrm p+0\cdot\left(1-\mathrm p\right)=\mathrm p}%%

Varianz

Für die Varianz erhält man

%%\style{font-size:14px}{\mathrm{Var}\left(\mathrm X\right)=\mathrm E\left(\left(\mathrm X-\mathrm E\left(\mathrm X\right)\right)^2\right)=\mathrm E\left(\left(\mathrm X- p\right)^2\right)=\mathrm E\left(\mathrm X^2-2pX+ p^2\right)=\mathrm E\left(\mathrm X^2\right)-\mathrm E\left(2 pX\right)+ p^2=\mathrm E\left(\mathrm X\right)^2-2 p\cdot\mathrm E\left(X\right)+ p^2= p- p^2= p\left(1- p\right)}%%

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion für %%X%% lautet

$${\mathrm F}_\mathrm X\left(\mathrm t\right)=\begin{cases} 0 \text{ für }\mathrm t<1 \\ 1 \text{ für }\mathrm t \geq 1 \end{cases}$$

Es gibt nur zwei Ereignisse. Das Ereignis "0" tritt mit Wahrscheinlichkeit %%1-p%% ein und ab %%t=1%% sind beide Ereignisse sicher eingetreten, weshalb dann %%F(t)=1%% gilt.

Aufgabe:

Wenn eine gesunde Person von einem Zombie gebissen wird, verwandelt sie sich mit 85 prozentiger Wahrscheinlichkeit innerhalb von 5 Minuten ebenfalls in einen Zombie.

Bestimme die Zufallsvariable, den Erwartungswert und die Varianz.

Lösung:

Zufallsvariable %%X:\;X(x) = \begin{cases} 0, & \text{wenn }x = \text{keine Verwandlung},\\ 1, & \text{wenn }x = \text{Verwandlung in Zombie}. \end{cases}%%

Erwartungswert %%E:\;E(X) = p = P(X=1)=0,85%%

Varianz %%Var(X):\; Var(X)=p\cdot(1-p)=0,85\cdot0,15=0,1275%%

Verhältnis zu anderen Verteilungen

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung mit %%n=1%%.

Wiederholt man also ein Bernoulli-Experiment öfter und betrachtet alle Ergebnisse, so sind diese binomialverteilt.

Wiederholte Bernoulli-Experimente

Wird ein Bernoulli-Experiment öfter wiederholt, so spricht man von einem Bernoulli-Prozess oder einer Bernoulli-Kette .

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