Wird ein Bernoulli-Experiment (d. h. ein Experiment mit nur zwei möglichen Ergebnissen) n-mal voneinander unabhängig wiederholt, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n.

 

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p genau k Treffer zu erhalten, wird mit %%{{B}(n;p;k)}%% abgekürzt; sie lässt sich nach nebenstehender Formel berechnen:

$${B} (n;p;k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k\left(1-p\right)^{n-k}$$

Andere Schreibweisen für %%B(n;p;k)%% sind %%{B}_{n,p,k}%% oder %%{B}_{n,p}\left(k\right)%% .

Für wichtige n und p sind die Wahrscheinlichkeiten %%{B}(n;p;k)%% im Tafelwerk (oder Tabellenwerk) der Stochastik verzeichnet.

Die zu einer Bernoulli-Kette gehörende Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung .

 

Bernoulli-Kette erkennen

Damit eine Bernoulli-Kette vorliegt und die Binomialverteilung angewandt werden darf, müssen drei Kennzeichen erfüllt sein:

  1. Beim Einzel-Experiment gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse.

  2. Das Einzel-Experiment wird n-mal voneinander unabhängig wiederholt.

  3. Damit die Formel der Binomialverteilung angewandt werden darf: Nur die Anzahl der Treffer interessiert, und nicht, an welchen Stellen die Treffer auftreten.

 

Wenn eine Bernoulli-Kette vorliegt, muss man festlegen, welches der beiden Ergebnisse "Treffer" sein soll. (Grundsätzlich sind beide Ergebnisse als Treffer möglich, aber man muss sich für eines der beiden entscheiden.) Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses ist dann die Trefferwahrscheinlichkeit p

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Bernoulli-Kette

Liegt eine Bernoulli-Kette vor, und bezeichnet X die Anzahl der Treffer der Bernoulli-Kette, so gilt:

%%P\left(X=k\right)=B\left(n;p;k\right)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^k\left(1-p\right)^{n-k}%%

Dabei ist n die Länge der Bernoulli-Kette, p die Trefferwahrscheinlichkeit und k die Anzahl der Treffer.

Diese Wahrscheinlichkeits-verteilung heißt Binomialverteilung.

Anmerkung:

%%\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix}%% bezeichnet den Binomialkoeffizienten "k aus n" oder "n über k". Er lässt sich mit dem Taschenrechner mit der Tastenfolge %%n\;\boxed{\mathrm{nCr}}\;k%% oder über die Formel  %%\begin{pmatrix} n\\ k\end{pmatrix}=\frac{n!}{ k!\left( n-k\right)!}%% berechnen.

 

Beispiel:

B(100;0,7;65) ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer Bernoulli-Kette der Länge 100 mit Trefferwahrscheinlichkeit 0,7 genau 65 Treffer zu erhalten. Es gilt:

%%B(100;0,7;65)=\begin{pmatrix}100\\65\end{pmatrix}0,7^{65}\cdot0,3^{100-65}\approx0,04678%%  

(auszurechnen mit dem Taschenrechner oder zu entnehmen aus dem Tabellenwerk)

 

Verteilungsfunktion

Während die Wahrscheinlichkeitsfunktion die Frage beantwortet, mit welcher Wahrscheinlichkeit genau k Treffer auftreten, beantwortet die Verteilungsfunktion die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit höchstens k Treffer auftreten.

$$P\left( X\leq k\right) = F_{p}^{n}\left( k\right) =\overset{k}{\underset{i=0}{\sum}} {B}\left( n;p; i\right)$$

d. h. die einzelnen Wahrscheinlichkeiten B(n;p;i) müssen von i=0 bis i=k aufsummiert werden.

 

Nur in einfachen Fällen kann man diese Wahrscheinlichkeiten von Hand bzw. mit dem Taschenrechner selbst aufsummieren. Zumeist muss man den Wert der Verteilungsfunktion im Tafelwerk nachschauen.
 

Beispiel:

Für die Wahrscheinlichkeit %%F_{0,7}^{100}\left(65\right)=\sum_{ i=0}^{65}\ B\left(100;0,7;\mathrm i\right)%% , bei einer Bernoulli-Kette der Länge 100 mit Trefferwahrscheinlichkeit 0,7 höchstens 65 Treffer zu erhalten, entnimmt man dem Tabellenwerk :

%%F_{0,7}^{100}\left(65\right)=\sum_{i=0}^{65}B\left(100;0,7;i\right)\approx0,16286%%

 

Bernoulli-Kette hinterfragen

Manchmal wird in Aufgaben verlangt, dass man kritisch hinterfragt, ob die Annahme, dass eine Bernoulli-Kette vorliegt, überhaupt gerechtfertigt ist.

Mögliche Ansatzpunkte:

  • Sind die einzelnen Teilexperimente wirklich voneinander unabhängig (gegenseitige Beeinflussung der einzelnen Versuchsdurchführungen o. ä. )?

  • Ändert sich die Wahrscheinlichkeit für „Treffer“ möglicherweise während der Durchführung der Bernoulli-Kette (Abnutzungserscheinungen bei Materialien, Lerneffekte bei Versuchspersonen o. ä.)?

  • Gibt es außer den beiden Ergebnisse vielleicht noch "Ausnahmefälle", bei denen nicht klar ist, ob sie als Treffer oder Niete zu werten sind?

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Zu article Bernoulli-Kette: Tabellen der Binomialverteilung
WernerPhil 2016-05-18 15:36:42
Sowohl die Werte der einfachen Binomialverteilung als auch die Summierte Verteilung gibt es inzwischen auch auf einfachen Taschenrechnern wie z.B. von Casiso fx-991 u.a. und werden hier unter Menuepunkt Distribution mit Binompdf(n;p;k) bzw, binomcdf(n;p;k) o.ä. gefunden und das bis zu 10 Stellen hinter dem Komma genau. Man benötigt somit keine Tabellen mehr und kein Spezialwissen, wie die Tabellen auszulesen sind.
Renate 2016-05-19 09:30:49
Das ist natürlich ein wichtiger und nützlicher Hinweis, zumal meines Wissens nach in manchen Bundesländern ohnehin an den Schulen nicht mit Tabellenwerken gearbeitet wird, sondern mit "entsprechend befähigten" Taschenrechnern.
In Bayern - ich schreibe hier aus München - sind jedoch nicht in allen Schulen diese Rechner für die Prüfungen zugelassen, insbesondere, soweit mir bekannt ist, nicht im Gymnasium und der FOS, und gerade da wird ja die Binomialverteilung behandelt.

Wir sollten daher auf Serlo weiterhin - ggf. zusätzlich zu einer (noch zu erstellenden) Anleitung für den "Taschenrechner-Gebrauch" - auch auf den Umgang mit dem Tabellenwerk eingehen.

Aber in jedem Fall vielen Dank für deinen Diskussionsbeitrag! :)
Gruß
Renate (Serlo-Teammitglied Mathematik-Redaktion)
Renate 2016-05-19 09:44:08
PS: Oder hättest du vielleicht Lust, gleich selbst einen entsprechenden (kurzen) Hinweis in diesen Artikel einzuarbeiten?
Mich würde es freuen, und ich denke, es wäre uns vom Münchner Serlo-Team auch eine echte Hilfe.

(Wie das mit dem Bearbeiten geht, findest du unter "Hilfe zur Bearbeitung" (https://de.serlo.org/hilfe-startseite) auf den verschiedenen Anleitungsseiten.
Oder wenn dich einfach an jemanden von uns und starte zum Beispiel auf meinem Profil https://de.serlo.org/user/profile/266 eine Diskussion mit deinen Fragen.)
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