Der Satz von Vieta bietet eine Möglichkeit, das Raten von Lösungen einer quadratischen Gleichung zu erleichtern (vor allem, wenn diese ganzzahlig sind). Er besagt, dass bei einer Gleichung der Form:

$$\style{font-size:18px}{x^2+px+ q=0}$$

die beiden Lösungen %%x_1%% und %%x_2%% folgende Bedingungen erfüllen:

%%\style{font-size:18px}{1.\;\;x_1+x_2=-p}%%

%%\style{font-size:20px}{2.\;\;x_1\cdot x_2=q}%%

 

Außerdem sind zwei Zahlen, die diese Bedingungen erfüllen, automatisch Lösungen der Gleichung.

Damit beschränkt sich die Suche nach Nullstellen auf Teiler von q, und zur Überprüfung muss man nur noch eine Summe ausrechnen, anstatt jedesmal Werte in die Gleichung einzusetzen, was man bei sturem Raten machen müsste.

 

Beweis

Der Satz von Vieta kann man begründen, indem man sich die Linearfaktordarstellung des quadratischen Terms anschaut:

%%x^2+px+q=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)%%

 

mit %%x_1%% und %%x_2%%   als Nullstellen von %%x^2+px+q%% .

Multipliziert man dann die rechte Seite aus, so erhält man:

$$\left(x-x _1\right)\left(x-x _2\right)=x ^2 \underbrace{- \left(x _1+x _2\right)} _{=:p}\;x+\underbrace{x _1 x _2} _{=:q}=x ^2 +px+q$$

 

Durch die Nullstellen %%x_1%% und %%x_2%% ergeben sich %%p%% und %%q%% und damit die Aussage des Satzes.

Vieta für allgemeine quadratische Gleichungen

Ist eine Gleichung in der Form %%ax^2+bx+c=0%% gegeben, dann kann man %%a%% ausklammern und Vieta auf die Klammer anwenden.

$$ax ^2+bx+c=a\Big(x ^2+\underbrace{\frac{b}{a}} _px+\underbrace{\frac{c}{a}} _q\Big)=a\left(x ^2+px+q\right)$$

Denn wenn die Klammer 0 ist, dann ist auch %%a\cdot0=0%% und damit die ganze quadratische Gleichung 0.

 

Vorgehensweise am Beispiel

Zu lösen ist die Gleichung  %%x^2-x-6=0%% .

Wir haben also %%q=-6%% und %%-p=-\left(-1\right)=1%%

Nach dem Satz von Vieta muss für die Lösungen %%x_1\cdot x_2=-6%% und %%x_1+x_2=1%% gelten

Wenn die Lösung ganzzahlig ist, dann gibt es wegen der ersten Bedingung genau folgende Möglichkeiten für die Nullstellen (Vertauschungen sind nicht extra aufgeführt):

 

%%x_1\;\;%%

%%x_2\;\;%%

%%x _1+x _2%%

%%x_1\cdot x_2%%

1

-6

-5

nicht relevant

-1

6

5

nicht relevant

2

-3

-1

nicht relevant

-2

3

1

-6

 

In der dritten Spalte wird überprüft, ob die Summe der beiden Variablen den gewünschten Wert hat. Das ist  bei %%x_1=-2%% und %%x_2=3%% der Fall. Stimmt die Gleichung %%q=x_1\cdot x_2%% in der vierten Spalte ebenfalls, hat man die Lösungen gefunden, was man durch Einsetzen noch bestätigen kann:

$$\begin{align}(-2) ^2-(-2)-6&=4+2-6=0\\ 3^2-3-6 &= 9-3-6=0 \end{align}$$

Übungsaufgaben 
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