Die Cramersche Regel ist eine Methode, um mittels Determinanten ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Allerdings ist die Cramersche Regel nicht für die praktische Berechnung der Lösung eines Gleichungssystems geeignet, da dies mit deutlich mehr Rechenaufwand verbunden ist, als z. B. mit dem Gauß Algorithmus.
Trotzdem ist die Cramersche Regel in gewisser Weise sinnvoll, da die Lösung eines Gleichungssystems stetig von den Koeffizienten des Gleichungssystems abhängt. Auf diese Weise kann man Abschätzungen für die einzelne Lösungskomponenten gewinnen.
 
 

Vorgehen

Lineares Gleichungssystem

$$\;\;\begin{align}ax _1+bx _2+cx _3= b_1\\dx _1+ex _2+fx _3= b _2\\gx _1+hx _2+ix _3= b _3\end{align}$$
Man wandelt das lineare Gleichungssystem in eine erweiterte Koeffizienten-Matrix um.
        (Ab)=(abcdefghib1b2b3)\displaystyle \;\;\Rightarrow\;\;( A\left| b)\right.=\left(\begin{array}{ccc} a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array} \left| \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right.\right)

Berechnung von x1,  x2,  x3x_1,\;x_2,\;x_3 :

A=(abcdefghi)det  A=det (abcdefghi)\displaystyle \begin{array}{l}A=\begin{pmatrix}a& b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{pmatrix}\Rightarrow\text{det}\;A=\text{det }\begin{pmatrix}a& b& c\\ d & e & f\\g & h & i \end{pmatrix}\end{array}
$$\text{det}(A_{x_1}) =\text{det }\begin{pmatrix}b_1 & b & c\\ b _2 & e& f\\ b _3& h & i\end{pmatrix}$$
Man ersetzt die Spalte der x1x _1 -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante.
$$\text{det}(A_{x_2}) =\text{det }\begin{pmatrix} a & b_1 & c\\ d & b _2 & f\\ g & b _3 & i\end{pmatrix}$$
Man ersetzt die Spalte der x2x _2 -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante.
$$\text{det}(A_{x_3}) =\text{det }\begin{pmatrix} a & b & b_1 \\ d & e &b _2 \\ g & h &b _3\end{pmatrix}$$
Man ersetzt die Spalte der x3x _3 -Werte durch die Ergebnis-Spalte und berechnet davon die Determinante.
Die Lösungen  x1,  x2,  x3x_1,\;x_2,\;x_3 des gegebenen linearen Gleichungssystems erhätl man dann wie folgt:
x1=det(Ax1)det(A)\displaystyle x _1=\frac{\text{det}(A _{{x}_1})}{\det(A)}
x2=det(Ax2)det(A)\displaystyle x _2=\frac{\text{det}(A _{{x}_2})}{\det(A)}
x3=det(Ax3)det(A)\displaystyle x _3=\frac{\text{det}(A _{{x}_3})}{\det(A)}
Kommentieren Kommentare

Zu article Cramersche Regel:
JulianWR 2020-03-25 10:51:18+0100
Hey, ich frage mich, ob die Cramersche Regel in der Schule überhaupt behandelt wird, oder ob dieser Artikel im Hochschulbereich nicht besser aufgehoben wäre.
wolfgang 2020-04-01 16:18:33+0200
Ich glaube in Hessen und im Saarland ist es zumindest ein fakultatives Thema. Von dem her würde ich den Artikel auch hier belassen.
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