Aufgaben

Ersetze die folgenden Terme durch einen einzigen Logarithmus.

%%2\log(u)+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]%%

%%\;2\log\;u+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]%%

%%=\log\;u^2+\frac12\left[\log\left(u+v\right)+\log\left(u-v\right)\right]%%

%%=\log\;u^2+\frac12\left[\log\left(\left(u+v\right)\cdot\left(u-v\right)\right)\right]%%

Wende die 3. Binomische Formel an.

%%=\log\;u^2+\frac12\log\left(u^2-v^2\right)%%

%%=\log\;u^2+\log(u^2-v^2)^\frac12%%

Wende %%x^\frac12=\sqrt x%%   an.

%%=\log\;u^2+\log(\sqrt{u^2-v^2})%%

Wende die Produktregel für Logarithmus an und fasse somit beide Logarithmen zu einem Logarithmus zusammen.

%%=\log\left(u^2\sqrt{u^2-v^2}\right)%%

%%\left(n+1\right)\cdot\log(x)-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)%%

%%\left(n+1\right)\cdot\log\;x-\frac13\;\cdot\;\log\left(x^{6n}\right)%%

%%=\;\log\;x^{n+1}-\log\;x^{2n}%%

%%=\;\log\frac{x^{n+1}}{x^{2n}}%%

Wende innerhalb des Logarithmus das zweite Potenzgesetz an.

%%=\;\log\;x^{1-n}%%

%%\log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2%%

%%\log\left(\mathrm{ab}\right)+\log\left(\frac ab\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2%%

%%=\;\log\left(\frac{a\cdot b\cdot a}b\right)-\log\left(\mathrm{ab}\right)^2%%

Kürze den Logarithmus und ziehe das Quadrat in die Klammer.

%%=\;\log\;a^2-\log\left(a^2b^2\right)%%

%%=\;\log\frac{a^2}{a^2b^2}%%

%%=\;\log\frac1{b^2}%%

Gesucht ist die Basis %%b%%.

Löse die folgenden Gleichungen jeweils nach %%x%% auf.

%%2^x=8%%

%%2^x=8%%

Wende den Logarithmus mit Basis %%2%% auf beiden Seiten an.

%%\log_2\left(2^x \right) = \log_2(8)%%

Verwende, dass man %%x%% aus dem Logarithmus nach vorne ziehen kann.

%%x \cdot \log_2(2) = \log_2(8)%%

  • %%\log_2(2)=\color{#cc0000}1%%, da %%2^\color{#cc0000}1=2%%
  • %%\log_2(8)=\color{#cc0000}3%%, da %%2^\color{#cc0000}3=8%%

%%x=3%%

%%7^{2x}=2%%

%%7^{2x}=2%%

Wende den Logarithmus zur Basis %%7%% an.

%%\log_7\left(7^{2x}\right)=\log_7 (2)%%

Ziehe %%2x%% aus dem Logarithmus nach vorne.

%%2x \cdot \log_7(7)=\log_7(2)%%

Verwende, dass %%\log_7(7)=1%%, da %%7^1=7%%.

%%2x=\log_7(2)%%

Dividiere auf beiden Seiten durch %%2%%.

%%x=\frac{1}{2}\cdot \log_7{2}%%

%%10^{x^2}=100%%

%%10^{x^2}=100%%

Wende den Logarithmus zur Basis %%10%% auf beiden Seiten an.

%%\log_{10}\left(10^{x^2} \right) = \log_{10} (100)%%

Ziehe den Exponenten %%x^2%% aus dem Logarithmus nach vorne.

%%x^2 \cdot \log_{10} (10) = \log_{10} (100)%%

  • %%\log_{10} (10) = \color{#cc0000}1%%, da %%10^\color{#cc0000}1=10%%
  • %%\log_{10} (100) = \color{#cc0000}2%%, da %%10^\color{#cc0000}2=100%%

%%x^2=2%%

Ziehe die Quadratwurzel auf beiden Seiten.

%%x=\pm \sqrt{2}%%

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