Man potenziert einen Bruch mit dem Exponenten n, indem man Nenner und Zähler getrennt mit n potenziert.

%%\left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}%%

%%\left(\frac57\right)^4=\frac{5^4}{7^4}=\frac{625}{2401}%%

Erklärung am Beispiel

$$\begin{align} \left(\frac57\right)^4 &= \underbrace{\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)\cdot\left(\frac57\right)}_{4-mal} \\&= {\textstyle\underbrace{{\displaystyle\frac57}\cdot{\displaystyle\frac57}\cdot{\displaystyle\frac57}\cdot\displaystyle\frac57}_{4-\mathrm{mal}}} \\&= \frac{\overbrace{5\cdot5\cdot5\cdot5}^{4-\mathrm{mal}}}{\underbrace{7\cdot7\cdot7\cdot7}_{4-\mathrm{mal}}} \\&= \frac{5^4}{7^4} \end{align}$$

Allgemeine Erklärung

$$\begin{align} \left(\frac ab\right)^n &= \underbrace{\left(\frac ab\right)\cdot\left(\frac ab\right)\cdot\;…\;\cdot\left(\frac ab\right)}_{n-mal} \\&= \underbrace{\frac ab\cdot\frac ab\cdot\;…\;\cdot\frac ab}_{n-mal} \\&= \frac{\overbrace{a\cdot a\cdot\;…\;\cdot a}^{n-mal}}{\underbrace{b\cdot b\cdot\;…\;\cdot b}_{n-mal}} \\&=\frac{a^n}{b^n} \end{align}$$

Weitere Beispiele

  1. %%\left(\frac34\right)^2=\frac{3\cdot3}{4\cdot4}=\frac{3^2}{4^2}=\frac9{16}%%

  2. %%\left(\frac23\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac8{27}%%

Negative Brüche

Ist der Exponent eine ungerade Zahl, so bleibt der Bruch negativ.

Ist der Exponent eine gerade Zahl, wird der potenzierte Bruch positiv.

%%\left(-\frac34\right)^2=\frac9{16}%%

%%\left(-\frac34\right)^3=-\frac{27}{64}%%

Begründung: %%\left(-\frac34\right)^2=\frac{\left(-3\right)^2}{\left(4\right)^2}=\frac9{16}%%

Begründung: %%\left(-\frac34\right)^3=\frac{\left(-3\right)^3}{\left(4\right)^3}=\frac{-27}{64}=-\frac{27}{64}%%

Beispielaufgaben

in Arbeit

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