Es gibt drei binomische Formeln,

  • die erste (Plus-Formel),
  • die zweite (Minus-Formel) und
  • die dritte (Plus-Minus-Formel)

Alle drei kommen oft vor und sind wichtige Hilfsmittel zum rechnen.

1. binomische Formel: "Plus-Formel"

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Warum gilt diese Formel?

Rechnerisch

Man kann die linke Seite einfach ausmultiplizieren: $$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$$

Anschaulich

Die Gültigkeit dieser Gleichung kann man sich auch anhand einer Zeichnung klar machen:

1. binomische Formel

Berechnet man den Flächeninhalt des gesamten Quadrats, dann bekommt man mit der Seitenlänge %%(a+b)%% als Ergebnis %%(a+b)^2%%.

Zählt man stattdessen die Flächeninhalte der vier Vierecke zusammen, so bekommt man: $$a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$$ Bei diesen zwei unterschiedlichen Herangehensweisen kommen wir auf dasselbe Ergebnis, also gilt: $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

2. binomische Formel: "Minus-Formel"

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Warum gilt diese Formel?

Rechnerisch

$$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$$

Anschaulich

legacy geogebra formula

Man geht von der rechten Seite der Gleichung aus und versucht aus dem gesamten Quadrat mit Flächeninhalt %%a^2%% das kleine Quadrat mit Flächeninhalt %%(a-b)^2%% zu bekommen.

legacy geogebra formula

Das gesamte Quadrat hat den Flächeninhalt %%a^2%%. Man zieht davon zuerst das schraffierte Rechteck ab. Der Rest (rosa Fläche) hat nun den Flächeninhalt %%a^2-ab%%

legacy geogebra formula

Nun zieht man zusätzlich diese schraffierte Fläche ab. Wir erhalten als Flächeninhalt %%a^2-2ab%%.

legacy geogebra formula

Allerdings haben wir das Quadrat unten rechts mit dem Flächeninhalt %%b^2%% einmal zu viel abgezogen, sodass die Fläche wieder dazu gezählt werden muss.

Damit bekommt man die Fläche mit dem Flächeninhalt %%(a-b)^2%%.

Insgesamt erhalten wir also für den Flächeninhalt: $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

3. binomische Formel: "Plus-Minus-Formel"

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

Warum gilt diese Formel?

Rechnerisch

$$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$$

Anschaulich

legacy geogebra formula

Das große Quadrat hat den Flächeninhalt %%a^2%%. Man sucht nun ein Quadrat unten rechts mit dem Flächeninhalt %%b^2%%. Das schraffierte Rechteck darüber mit den Seitenlängen %%b%% und %%(a-b)%% schneidet man aus und legt es an die rote Fläche unten dran.

legacy geogebra formula

Das rote und das lila schraffierte Rechteck zusammen haben den Flächeninhalt %%(a+b)(a-b)%%. Zusätzlich gibt es immer noch das kleine, grüne Quadrat mit dem Flächeninhalt %%b^2%%.

Dies ergibt insgesamt den Flächeninhalt: %%(a+b)(a-b)+b^2%%

Da nur das lila schraffierte Rechteck verschoben wurde, hat sich der gesamte Flächeninhalt nicht verändert. Damit gilt: %%a^2=(a+b)(a-b)+b^2%%

Wenn man nun %%b^2%% auf beiden Seiten subtrahiert, erhält man die binomische Formel: $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

Verwendung der binomischen Formeln

Die binomischen Formeln werden in beide Richtungen angewendet:

  • Entweder "vorwärts" zum Auflösen der Klammern
  • oder "rückwärts" zum Umwandeln einer Summe bzw. Differenz in ein Produkt ("Faktorisieren")

Binomische Formeln "vorwärts" (d.h. zum Auflösen der Klammern)

Hierbei wird ein Produktterm in eine Summe oder Differnz umgewandelt.

Allgemeine Vorgehensweise

  1. Terme vergleichen und entscheiden, welche Formel man anwenden muss
  2. Sich klar machen, was %%a%% und %%b%% ist
  3. Formel anwenden

Beispiele

  • 1.binomische Formel: %%(2x+1)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2=4x^2+4x+1%%
  • 2.binomische Formel: %%(x-7)^2=x^2-2\cdot x\cdot7+7^2=x^2-14x+49%%
  • 3.binomische Formel: %%(x+4)(x-4)=x^2-4^2=x^2-16%%
Übungsaufgaben

Löse mit der korrekten binomischen Formel

Binomische Formeln "rückwärts" (d.h. zum Faktorisieren)

Man kann die binomische Formel auch umgekehrt anwenden. Hier macht man aus Summen Produkte. Das hat vor allem Vorteile beim Kürzen.

Allgemeine Vorgehensweise in Stichpunkten
  1. Term so weit wie möglich zusammenfassen
  2. Wie viele Summanden hat der Term?
    • 2 Summanden: Weiter mit Schritt 6
    • 3 Summanden: Weiter mit Schritt 3
    • mehr als 3 Summanden: Man kann keine binomische Formel anwenden
  3. Gibt es 2 Quadratterme?
    • ja: Weiter mit Schritt 4
    • nein: Versuche so auszuklammern, dass innerhalb der Klammer 2 Quadratterme stehen. Ist dies möglich: weiter mit Schritt 4; ist dies nicht möglich: man kann keine binomische Formel anwenden
  4. Welche Vorzeichen haben die Quadratterme?
    • beide positiv: weiter mit Schritt 5
    • beide negativ: %%(-1)%% ausklammern und weiter mit Schritt 5
  5. Mischterm anhand der Formel ausrechnen. Passt der Mischterm?
    • ja: je nach Vorzeichen 1. oder 2. binomische Formel anwenden
    • nein: man kann keine binomische Formel anwenden
  6. Steht vor genau einem der Summanden ein Minuszeichen
    • ja: weiter mit Schritt 7
    • nein: man kann keine binomische Formel anwenden
  7. Sind beide Summanden Quadrate?
    • ja: 3. binomische Formel anwenden
    • nein: Versuche so auszuklammern, das innerhalb der Klammer 2 Quadratterme stehen. Ist dies möglich: 3. binomische Formel anwenden; ist dies nicht möglich: man kann keine binomische Formel anwenden
Allgemeine Vorgehensweise in ausführlicher Darstellung

Zuerst musst du überprüfen, wie viele Summanden der Term besitzt. - Sind es drei, so kommen die ersten beiden Formeln in Frage, - sind es zwei, so kann die dritte Formel hilfreich sein, - sind es mehr als drei Summanden, so muss man zuerst versuchen die Terme zusammenfassen.

Drei Summanden

Hat man drei Summanden, so überprüft man, ob zwei der Summanden Quadrate mit positiven Vorzeichen sind. Notfalls muss man zuerst einen geeigneten Faktor ausklammern. Die Wurzeln dieser Quadrate nennt man %%a%% und %%b%%.

Ist dies der Fall, so muss man noch den mittleren Term überprüfen, indem man %%2ab%% berechnet.

Falls dieses Ergebnis mit dem mittleren Summanden aus der Aufgabenstellung übereinstimmt, kann man die binomische Formel zum Faktorisieren benutzen, indem man nun noch das Vorzeichen betrachtet und je nachdem die erste oder die zweite binomische Formel benutzt.

Zwei Summanden

Hat man zwei Summanden, so überprüft man, ob nur vor einem der beiden Summanden ein Minuszeichen steht.

Ist dies der Fall, so überprüft man, ob die beiden Summanden Quadrate sind. Ist das auch der Fall, so kann man mit Hilfe der dirtten binomischen Formel faktorisieren.

Falls keiner der Summanden ein Quadratterm ist, kann man noch versuchen, einen geeigneten Faktor auszuklammern.

Keiner der Wege funktioniert

Der Term lässt sich nicht mit Hilfe einer binomischen Formel faktorisieren. Hier kannst du nur vereinfachen, indem du die quadratische Ergänzung benutzt, das ist allerdings dann keine Faktorisierung mehr.

Entscheidungsbaum

Entscheidungsbaum

Beispiel 1

$$4r^2+4r+1$$

  1. Man kann nichts ausklammern/zusammenfassen und wir haben drei Summanden
  2. Es gibt 2 Quadratterme:%%4r^2%% und %%1%%
  3. Sie haben beide positives Vorzeichen
  4. Mischterm überprüfen:
    • %%4r^2=(2r)^2%%, %%1=1^2%%, also muss der Mischterm %%2\cdot2r=4r%% sein
    • Das passt zur 1. binomischen Formel mit %%a=2r%% und %%b=1%%.
    • Man bekommt das Ergebnis %%4r^2+4r+1=(2r+1)^2%%

Beispiel 2

$$11x^3-44x$$

  1. Den Term %%11x%% ausklammern: %%11x(x^2-4)%%
  2. Es gibt 2 Quadratterme: %%x^2%% und %%4%%
  3. %%x^2%% hat positives Vorzeichen, %%4%% hat negatives Vorzeichen
    • Es lässt sich die 3. binomische Formel anwenden mit %%a=x%% und %%b=2%%
    • Man bekommt als Ergebnis %%11x^3-44x=11x(x+2)(x-2)%%

Beispiel 3

$$-2p^2+6p-18$$

  1. Den Term %%-2%% ausklammern: %%-2(p^2-3p+9)%%
  2. Es gibt 2 Quadratterme: %%p^2%% und %%9%%
  3. Sie haben beide positives Vorzeichen
  4. Mischterm überprüfen:
    • %%p^2=(p)^2%%, %%9=3^2%%, also muss der Mischterm %%2\cdot p\cdot3=6p%% sein
    • Die Mischterme stimmen nicht überein
    • Es lässt sich keine binomische Formel anwenden
Übungsaufgaben

Überprüfe ob eine der binomischen Formeln anwendbar ist und wende sie gegebenenfalls rückwärts an.

Kommentieren Kommentare

Zu article Binomische Formeln: Zu viele Übungsaufgaben
arekkas 2014-06-11 20:11:47
Vielleicht könnte man hier mal ein bisschen bei den Übungsaufgaben aufräumen und den entsprechenden Ordner stattdessen rechts in den zugehörigen Ordnern verlinken?
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Zu article Binomische Formeln: Spoiler , Geogebra
Tinsaye 2015-10-31 18:16:51
In den Spoilern oben ist ein "Download original Geogebra file" Link
Nish 2015-11-02 16:37:24
Danke für den Hinweis, habs gerade neu verlinkt.