Führe die Polynomdivision durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.

Zu text-exercise-group 2895:
Nish 2018-09-16 20:53:06
Diese Aufgabe sollte nochmal bzgl. den aktuellen Richtlinien zu Aufgabenlösungen (http://de.serlo.org/90400) überarbeitet werden. Hier geht es v.a. darum, dass Überschriften nicht mehr verlinkt werden sollten ;)
LG,
Nish
chdieter 2018-09-17 07:33:57
Stimme der Argumentation, in Überschriften nicht zu verlinken, voll zu.
LG
Dieter
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Zu text-exercise-group 2895:
Renate 2016-11-15 11:44:27
AUFGABENGRUPPE AUFTEILEN
Meiner Meinung nach sollte diese Aufgabengruppe, die momentan von a) bis k) geht und Aufgaben recht unterschiedlicher Art und Schwierigkeit beinhaltet, besser in mehrere Aufgabengruppen unterteilt werden (mit einem jeweils passenden Überaufgabentext natürlich).

Man sollte dabei nämlich auch bedenken: Wir können in Lehrplanordner, anders als in Artikel, nur Aufgabengruppen als Ganzes einordnen - und müssen uns daher dann an der schwierigsten Teilaufgabe orientieren, wenn wir die Gruppe irgendwo einsortieren.

Viele Grüße
Renate (Serlo-Teammitglied Mathematikredaktion)
Nish 2018-09-16 20:51:44
Auch diese scheint mir veraltet zu sein ;) Gerne einfach wieder öffnen, falls ich falsch liege.
LG,
Nish
Zu text-exercise-group 2895:
Renate 2016-11-15 11:29:56
MISSVERSTÄNDLICHE AUFGABENSTELLUNG?
Ich hätte die Aufgabenstellung eigentlich so verstanden, dass man die Nullstellenberechnung und die Faktorisierung nur dann zu machen braucht, wenn die Polynomdivision aufgegangen ist.
Das steht zwar vielleicht nicht ausdrücklich so da, wäre aber deshalb naheliegend, weil die verlangte Polynomdivision ja dann, wenn sie nicht aufgeht, überhaupt nichts mit dem Rest der Aufgabe zu tun hat.
Nish 2018-09-16 20:48:47
Da diese Diskussion nun veraltet scheint, archiviere ich das mal ;)
LG,
Nish

%%(x^3+2x^2-x-2):(x-1)%%

Polynomdivision

%%\begin{array}{l}\;\;(x^3+2x^2-x-2):(x-1)=x^2+3x+2\\\underline{-(x^3-1x^2)\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;3x^2-x\\\;\;\;\;\;\underline{-(3x^2-3x)\;\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;2x-2\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(2x-2)}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Neue Funktion : %%f\left(x\right)=x^2+3x+2%%

%%f\left(x\right)=x^2+3x+2%%

Gleich %%0%% setzen.

%%0=x^2+3x+2%%

%%x_{2,3}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1}%%

%%=\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}2%%

%%=\frac{-3\pm1}2%%

%%x_2=\frac{-3+1}2=\frac{-2}2=-1%%

%%x_3=\frac{-3-1}2=\frac{-4}2=-2%%

%%x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)%% ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.

%%(4x^3-4x):(x+1)%%

%%\begin{array}{l}\;\;\;(4x^3-4x):(x+1)=4x^2-4x\\\underline{-(4x^3+4x^2)\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;-4x^2-4x\\\;\;\;\underline{-(-4x^2-4x)\;\;\;}\;\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

 

%%\Rightarrow%% Neue Funktion: %%f\left(x\right)=4x^2-4x%%  

%%f\left(x\right)=4x^2-4x%%

Gleich %%0%% setzen.

%%0=4x^2-4x+0%%

%%x_{2,3}=\displaystyle\frac{4\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot4\cdot0}}{2\cdot4}%%

%%=\displaystyle\frac{4\pm\sqrt{16}}{8}%%

%%=\displaystyle\frac{4\pm4}{8}%%

%%x_2=\displaystyle\frac{4+4}{8}=\frac{8}{8}=1%%

%%x_3=\displaystyle\frac{4-4}{8}=\frac{0}{8}=0%%

%%4x^3-4x=4x(x+1)(x-1)%% ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.

%%(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)%%

Polynomdivision

%%\begin{array}{l}\;\;(\frac23x^3+2x^2-\frac83):(x+2)=\frac23x^2+\frac23x-\frac43\\\underline{-(\frac23x^3+\frac43x^2)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac23x^2-\frac83\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(\frac23x^2-\frac43x)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-\frac43x-\frac83\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(-\frac43x-\frac83)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

%%\frac23x^2+\frac23x-\frac43=0%%

 

%%x_{2/3}=\displaystyle\frac{-\frac23\pm\sqrt{(\frac23)^2-4\cdot(\frac23)\cdot(-\frac43)}}{\frac43}%%

 

%%x_{2/3}=\displaystyle\frac{-\frac23\pm\sqrt{\frac{36}9}}{\frac43}%%

 

%%x_{2/3}=\displaystyle\frac{-\frac23\pm\frac63}{\frac43}%%

 

%%x_2=1%%

 

%%x_3=-2%%

 

%%\frac23x^3+2x^2-\frac83=\frac23(x+2)^2(x-1)%% ist die Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktorzerlegung des Terms. Dieser hat für %%x=-2%% eine doppelte Nullstelle.

%%(x^4-8x^2-9):(x-3)%%

%%\begin{array}[l] &\;\;\;(x^4-8x^2-9):(x-3)=x^3+3x^2+x+3\\ \underline{-(x^4-3x^3)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;3x^3-8x^2\\ \;\;\;\;\;\;\underline{-(3x^3-9x^2)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^2-9\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x^2-3x)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;3x-9\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(3x-9)}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0 \end{array} %%

%%\Rightarrow%% Neue Funktion: %%f\left(x\right)=x^3+3x^2+x+3%%

 

Als ganzzahlige Nullstellen des Terms %%x^3+3x^2+x+3%% kommen nur die Teiler des konstanten Gliedes %%3%% in Frage.

Also die vier Zahlen: %%\pm1,\pm3%%.

Einsetzen ergibt %%f(-3)=-28+27-3+3=0%%. Daneben erhält man: %%f(\pm1) \neq0%% und %%f(+3) \neq0%%.

%%x=-3%% ist also die einzige ganzzahlige Nullstelle.

Somit muss die Polynomdivision %%f(x):(x+3)%% aufgehen.

%%\begin{array}{l}\;\;(x^3+3x^2+x+3):(x+3)=x^2+1\\\underline{-(x^3+3x^2)\;\;\;\;\;\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x+3\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{-(x+3)\;\;\;}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\end{array}%%

%%\Rightarrow%% Neue Funktion: %%f\left(x\right)=x^2+1%%

 

%%x^2+1=0%%

%%\left|{-1}\right.%%

%%x^2=-1%%

 

%%\Rightarrow%% keine weiteren Nullstellen , da nicht lösbar in %%\mathbb{R}%% .

Für den ursprünglichen Funktionsterm %%x^4-8x^2-9%% erhält man somit die folgende Faktorisierung mit zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor.

%%x^4-8x^2-9=(x-3)(x+3)(x^2+1)%%