$\begin{array}{l}(x^3+2x^2-x-2):(x-1)=x^2+3x+2\\ \underline{-(x^3-1x^2)}\\ 3x^2-x\\ \underline{-(3x^2-3x)}\\ 2x-2\\ \underline{-(2x-2)}\\ 0\end{array}$

$\Rightarrow$ Neue Funktion : $f\left(x\right)=x^2+3x+2$

Verbleibende Nullstellen berechnen

Faktorisierung

$x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)$ ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.

$\Rightarrow$ Neue Funktion: $f\left(x\right)=4x^2-4x$

Verbleibende Nullstellen berechnen

Faktorisierung

$4x^3-4x=4x(x+1)(x-1)$ ist die gesuchte Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktordarstellung.

$\begin{array}{l}({\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+2x^2-{\displaystyle \frac{8}{3}}):(x+2)={\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{4}{3}}\\ \underline{-({\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^2)}\\ {\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2-{\displaystyle \frac{8}{3}}\\ \underline{-({\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}x)}\\ -{\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{8}{3}}\\ \underline{-(-{\displaystyle \frac{4}{3}}x-{\displaystyle \frac{8}{3}})}\\ 0\end{array}$

Nullstellenberechnung

${\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+2x^2-{\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{2}{3}}(x+2{)}^2(x-1)$ ist die Faktorisierung, hier sogar eine Linearfaktorzerlegung des Terms. Dieser hat für $x=-2$ eine doppelte Nullstelle.

Als ganzzahlige Nullstellen des Terms $x^3+3x^2+x+3$ kommen nur die Teiler des konstanten Gliedes $3$ in Frage.

Also die vier Zahlen: $\pm 1,\pm 3$.

Einsetzen ergibt $f(-3)=-28+27-3+3=0$. Daneben erhält man: $f(\pm 1)\ne 0$ und $f(+3)\ne 0$.

$x=-3$ ist also die einzige ganzzahlige Nullstelle.

Verbleibende Nullstellen berechnen

$\Rightarrow$ keine weiteren Nullstellen , da nicht lösbar in $ℝ$ .

Für den ursprünglichen Funktionsterm $x^4-8x^2-9$ erhält man somit die folgende Faktorisierung mit zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor.

$x^4-8x^2-9=(x-3)(x+3)(x^2+1)$