Aufgaben

Der Dönerladen "Döner2U" hat heute Neueröffnung und bietet ein Sparangebot: Dürüm für 4€ und Döner für 2€. Saskia will für ihre Familie Abendessen holen. Ihre Eltern wollen jeweils einen Dürüm, sie und ihre zwei Brüder möchten jeder einen Döner.

Saskia will dieses Angebot nutzen. Sie überlegt, wie viel Geld sie bezahlen wird. Stelle dazu den Term auf und vereinfache.

Aufstellen von Termen

Als erstes stellen wir den Term auf, um die Kosten für das Essen der Eltern zu berechnen.

%%2\cdot4€%%

Kosten für das Essen der Kinder:

%%3\cdot2€%%

Gesamtkosten für das Essen der Familie:

%%\begin{array}{rrrcl} 2\cdot4€ &+ &3\cdot2€ \end{array}%%

Fasse zusammen und beachte Punkt vor Strich.

%%\begin{array}{rrrcl} 2\cdot4€ &+ &3\cdot2€ &= \\ 8€ &+ &6€ &= &14€ \end{array}%%

Saskia wird also 14€ bezahlen.

Der alte Dönerladen "DönerCatering" bietet stattdessen Döner und Dürüm für jeweils 3€ an. Welches dieser Angebote ist für Saskias Bestellung günstiger?

Aufstellen von Termen

Als erstes stellen wir den Term auf, um die Kosten für das Essen der Eltern zu berechnen.

%%2\cdot3€%%

Kosten für das Essen der Kinder:

%%3\cdot3€%%

Gesamtkosten für das Essen der Familie:

%%\begin{array}{rrrcl} 2\cdot4€ &+ &3\cdot2€ \end{array}%%

Fasse zusammen und beachte Punkt vor Strich.

%%\begin{array}{rrrcl} 2\cdot3€ &+ &3\cdot3€ &= \\ 6€ &+ &9€ &= &15€ \end{array}%%

Bei DönerCatering müsste Saskia also 15€ bezahlen. Bei Döner2U kostest die Bestellung 14€. Das Angebot von Döner2U ist also günstiger.

Beim Zerschneiden einer rechteckigen Pizza in %%n%% waagrechte und %%n%% senkrechte Streifen entstehen Eckstücke (E), reine Randstücke (R) und Innenstücke (I), siehe Abbildung für %%n = 4%%. Stelle Terme auf, die die Zahl der Randstücke bzw. die Zahl der Innenstücke in Abhängigkeit von der Streifenzahl %%n%% beschreiben.

rechteckige Pizza

Terme aufstellen

Term für Randstücke

%%T_R(n)=4 \cdot (n-2)%%

%%n-2%% ist die Anzahl der Randstücke auf einer Seite des Quadrats. Das musst du dann noch mit 4 multiplizieren, weil das Rechteck 4 Seiten hat.

Term für Innenstücke

%%T_I(n)=(n-2) \cdot (n-2)%%

%%(n-2)%% ist die Anzahl der Pizzastücke in einer Reihe minus die Rand- oder Endstücke in der Reihe.

Zur Kontrolle kannst du zur Zahl der Innen-und Randstücke die Zahl der Eckstücke ( 4 Stück ) dazuzählen und vereinfachen, dann muss sich die Gesamtzahl der Stücke %%\left(n^2\right)%% ergeben.

%%\;\Rightarrow4\left(n-2\right)+\left(n-2\right)^2+4=\;\;%%

%%=4n-8+n^2-2n-2n+4+4%%

%%=n^2%%

Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge %%a=5 \mathrm{cm}%%. Bestimme den Term %%A(x)%% für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

03_mc: Dreieck im Quadrat

In das Quadrat ist ein grau gefärbter "Doppelpfeil" eingezeichnet.

Gib den Flächeninhalt des Doppelpfeils in Abhängigkeit von %%x%% und %%y%% an.

 

Skizze zur Flächenbestimmung im Quadrat

Funktionen aufstellen

Formel für das Quadrat aufstellen:

%%A_\square=a^2%%

%%a=x+y%%

%%A_\square=\left(x+y\right)^2%%

Formel für das Dreieck aufstellen:

%%A_\bigtriangleup=\frac12\cdot g\cdot h%%

%%g%% und %%h%% entsprechen %%y%%, da es ein rechtwinkliges Dreieck ist.

%%A_{\bigtriangleup\measuredangle90^o}=\frac12y^2%%

Das ist die Fläche für eines der beiden Dreiecke.

Formel für die Fläche des Pfeils aufstellen:

%%A_\Leftrightarrow=A_\square-2A_\bigtriangleup=%%

Substrahiere die Fläche der beiden Dreiecke von der Fläche des Quadrats.

%%=\left(x+y\right)^2-y^2%%

%%=(x^2+2\mathrm{xy}+y^2)-y^2%%

%%=x^2+2xy%%

Verlängert man jede Seite eines Dreiecks, so erhält man die Nebenwinkel der Innenwinkel  %%\alpha,\;\beta,\;\gamma%% , die sogenannten Außenwinkel  %%\alpha^\ast,\;\beta^\ast,\;\gamma^\ast%%. Was stellt der Term  %%\left(180^\circ-\alpha\right)+\left(180^\circ-\beta\right)+\left(180^\circ-\gamma\right)%% dar? Dieser Term lässt sich umformen zu  %%540^\circ-\left(\alpha+\beta+\gamma\right)%%. Was kann man daraus folgern?

Terme auswerten.

Stelle einen Term auf, der den Mittelwert des Preises berechnet:

  • Preis einer Breze im ersten Geschäft: %%x%% 

  • Preis einer Breze im zweiten Geschäft: 12 % billiger, als im ersten

  • Eine Breze kostet im ersten Geschäft 25 % mehr, als im dritten Geschäft. 

Terme aufstellen

Thema dieser Aufgabe ist das Aufstellen von Termen.

Preis im zweiten Geschäft

Der Preis im zweiten Geschäft ist um %%12\% %% niedriger als der im Ersten:

%%100\%-12\%=88\% %%  des Preises im ersten Geschäft.

%%\text{Preis im zweiten Geschäft}=0,88\cdot x%%

Preis im dritten Geschäft

Der Preis im ersten Geschäft ist das %%1,25%%-fache des Preises im dritten Geschäft:

%%x=1,25\cdot \text{Preis im dritten Geschäft}%%

%%\text{Preis im dritten Geschäft}=\frac x{1,25}%%

%%\phantom{\text{Preis im dritten Geschäft}}=\displaystyle \frac x{\frac54}%%

Durch einen Bruch zu dividieren , bedeutet mit seinem Kehrbruch zu multiplizieren.

%%\phantom{\text{Preis im dritten Geschäft}}=x\cdot\frac45%%

%%\phantom{\text{Preis im dritten Geschäft}}=0,8\cdot x%%

Mittelwert

Bilden des Mittelwerts der drei Preise:

%%\frac{x+0,88x+0,8x}3=\frac{2,68\cdot x}3\approx0,9x%%

Verbinde die Zahlen %%-25, -9, 11%% und %%-4%% mit Addition, Subtraktion oder Multiplikation (ohne Klammern zu setzen) und stelle so einen Term auf, dessen Wert …

  1. positiv bzw. negativ ist,

  2. so groß wie möglich ist,

  3. so klein wie möglich ist,

  4. möglichst nahe bei 0 liegt.

Teilaufgabe 1

Term mit positivem Wert: %%\left(-9\right)\cdot\left(-4\right)-\left(-25\right)\cdot11=311%%

Term mit negativem Wert: %%\left(-25\right)+\left(-9\right)+11+\left(-4\right)=-27%%

Teilaufgabe 2

Term mit maximalem Wert: %%\left(-25\right)\cdot\left(-9\right)\cdot11-\left(-4\right)=2479%%

Teilaufgabe 3

Term mit minimalem Wert: %%\left(-25\right)\cdot\left(-9\right)\cdot11\cdot\left(-4\right)=-9900%%

Teilaufgabe 4

Term mit einem Wert, der möglichst nahe bei Null liegt: %%(-25)-11+(-9)\cdot(-4)=0%%

Für ein Festessen sollen Einzeltische für je sechs Personen zu einer großen Tafel zusammengestellt werden. Es werden zwei Möglichkeiten betrachtet, dies zu tun: Die Tische können an den Schmal- oder Längsseiten zusammengestellt werden.

 

  1. Wie viele Personen können bei jeder Tischanordnung insgesamt Platz nehmen, wenn eine bestimmte Anzahl %%(n)%% Tische zusammengestellt werden?

  2. Der Gastgeber hat so viele Gäste eingeladen, dass bei keiner der beiden möglichen Tischanordnungen 5 Tische genügen. Wenn er einen weiteren Tisch hinzufügt, ist die Anzahl der Plätze genau ausreichend. Es wird davon ausgegangen das die Tische so aufgestellt werden,dass möglichst viele an einem Platz haben. Wie viele Personen nehmen am Festessen teil?

Teilaufgabe 1.

%%n=%% Anzahl Tische

%%p=%% Anzahl Personen

Schmalseiten zusammengestellt:

%%p=n\cdot4+2%%

Längsseiten zusammengestellt:

%%p=n\cdot2+4%%

Teilaufgabe 2.

%%p=n\cdot4+2%%

%%n=5+1%%

%%p=6\cdot4+2%%

%%p=26%%

%%\;\;\Rightarrow\;\;%% Es nehmen 26 Leute am dem Festessen teil.

Der Spielfeldrand eines Fußballfeldes der Breite %%b%% und Länge %%l%% soll von den Zuschauern den Abstand %%x%% haben. Christian, Monika und Peter schreiben Terme auf, die den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreiben:

Christian: %%2\cdot\left(l+x\right)\cdot x+2\cdot\left(b+x\right)\cdot x%%

Monika: %%\left(2x+l\right)\cdot\left(2x+b\right)-l\cdot b%%

Peter: %%x\cdot\left(l+x+x\right)\cdot2+x\cdot b\cdot2%%

a) Beschreibe – gegebenenfalls mit Hilfe einer Skizze – wie die drei jeweils ihren Term gefunden haben könnten.

b) Zeige, dass die Terme äquivalent sind.

c) Klaus stellt den Term %%2\cdot l \cdot x+2\cdot b\cdot x%% auf und behauptet, dass dieser auch den Flächeninhalt der Sicherheitszone beschreibt. Was meinst du dazu?

d) In der Münchner Allianz-Arena ist das Spielfeld 105m lang und 68m breit. Der Sicherheitsabstand beträgt 7,5 m. Welchen Flächeninhalt hat die Sicherheitszone?

 

Teilaufgabe a

Terme überprüfen

Skizze Christian:

 7713_EApW4dUObl.png

Skizze Monika:

4645_5tikyqvQvn.png

Skizze Peter:

4644_FnyZAHj4ad.png

Teilaufgabe b

Term aufstellen

Zeige, dass die Terme äquivalent sind, indem du sie gleichsetzt.

Term Christian = Term Monika

%%2\cdot\left(l+x\right)\cdot x+2\cdot\left(b+x\right)\cdot x=\left(2x+l\right)\cdot\left(2x+b\right)-l\cdot b%%

%%2lx+2x^2+2bx+2x^2=4x^2+2xb+2xl+lb-lb%%

Zusammenfassen.

%%2lx+4x^2+2bx=4x^2+2xb+2xl%%

%%\Rightarrow%% Die Terme von Christian und Monika sind also äquivalent.

Term Peter = Term Monika

  %%4x^2+2bx+2xl=x\cdot\left(l+2x\right)\cdot2+x\cdot b\cdot2%%

Beide Seiten ausmultiplizieren.

%%4x^2+2bx+2xl=2lx+4x^2+2bx%%

 

%%\Rightarrow%% Also sind sowohl Christians als auch Monikas und Peters Terme äquivalent zueinander. 

Teilaufgabe c

%%2\cdot l\cdot x+2\cdot b\cdot x\overset?=4x^2+2xb+2lx%%

%%2lx+2bx\neq4x^2+2xb+2lx%%

%%\Rightarrow%% Klaus Term beschreibt nicht den Flächeninhalt der Sicherheitszone da sein Term nicht äquivalent zu den anderen ist. Sein Term beschreibt nur den Flächeninhalt der Quadrate über den Seiten des Spielfeldes %%l%% bzw. %%b%%

Teilaufgabe d

Term: %%4x^2+2xb+2xl%%

Variablen durch gegebene Zahlen ersetzen.

%%4\cdot7,5^2+2\cdot68\cdot7,5+2\cdot7,5\cdot105=%%

%%=225+1020+1575=2820\;\mathrm{m}^2%%

%%\Rightarrow%% Antwort: Der Flächeninhalt der Sicherheitszone beträgt %%2820\;\mathrm{m}^2%%

In einem Geschäft kostet ein Hammer %%e%% Euro und %%c%% Cent. Dazu kommen noch 19% MWSt.

Wie viel Cent kosten %%h%% Hämmer einschließlich MWSt.? Welche Formel(n) ist /sind richtig?

  1. %%19 \cdot h\cdot\left(100c+e\right)%%

  2. %%1,19\cdot h\cdot\left(100c+e\right)%%

  3. %%1,19\cdot h\cdot\left(100e+c\right)%%

  4. %%1,19\cdot\frac{h \cdot e+c}{100}%%

  5. %%h\cdot\left(100c+e\right)+19\% %%

  6. %%0,19\cdot\left(100c \cdot e+h\right)%%

  7. %%1,19\cdot\left(100c \cdot h+e\cdot h\right)%%

  8. %%0,19+100c\cdot h+e\cdot h%%

  9. %%\sqrt{19c \cdot e\cdot h+100}%%

In einem Hotel kostet die Übernachtung 70€. Hinzu kommen möglicherweise sonstige Kosten (Restaurant, Telefon, etc.) Auf all das werden noch 16% MWSt erhoben. Gesucht ist eine Formel für den Rechnungsbetrag %%R%% (in €) als Funktion der Zahl der Nächte %%N%% und den sonstigen Kosten %%S%% (in €). Welche Formel ist richtig?

 

  1. %%R=0,16\cdot\left(70N+S\right)%%

  2. %%R=16\cdot\left(70N+S\right)%%

  3. %%R=1,16\cdot\left(70N+S\right)%%

  4. %%R=70N+S+0,16%%

  5. %%R=70N+S+16\% %%

  6. %%R=70N^S-16\pi%%

Stelle einen Term auf für den Mittelwert des Preises einer Ware in drei verschiedenen Geschäften:

Preis im ersten Geschäft: %%x%%

Preis im zweiten Geschäft: 12% billiger als im ersten, 

Preis im ersten Geschäft ist im 25% höher als im dritten Geschäft.

Berechnung des Preises im 2. Geschäft.

Es sind 12% weniger also bleiben 88% von %%x%% übrig.

%%0,88x%%

Berechnung des Preises im 3. Geschäft.

%%\frac x{1,25}=x:1,25=x:\frac54=x\cdot\frac45=0,8x%%

Berechnung des Mittelwerts.

%%\frac{x+0,88x+0,8x}3=\frac{2,68\cdot x}3\approx0,9x%%

Ein rechteckiges Grundstück soll eingezäunt werden. Das Grundstück ist 5m lang und 8m breit. Erstelle einen Term und berechne die nötige Zaunlänge.

Umfang eines Rechtecks

Für den Umfang eines Rechtecks gilt: %%U = Länge + Breite + Länge + Breite%%

Die nötige Zaunlänge ist also: %%U = 5m + 8m + 5m + 8m = 26m%%

Alternative Rechnung

Du kannst auch direkt den Term "vereinfacht aufstellen": %%U = 2 \cdot Länge + 2 \cdot Breite= 2 \cdot 5m +2\cdot 8m=26m%%

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