Aufgaben zum Aufstellen von Termen mit Variablen aus Geometrie u. a.

Das $\textcolor{006400}{ \text{grüne} }$ Dreieck hat die Grundseite $x$ und die Höhe $x$, also den Flächeninhalt: $A_{\bigtriangleup\text{grün}} = \dfrac12\cdot x\cdot x = \dfrac12x^2.$

Ein oranges Dreieck hat die Grundseite $a=5$ und die Höhe $a-x = 5-x$, als Flächeninhalt also: $A_{\bigtriangleup \text{orange}} = \dfrac12 \cdot 5 \cdot \left(5-x \right) = \dfrac12\cdot25 - \dfrac12 \cdot 5 \cdot x=12{,}5 - 2{,}5 \cdot x$

Das Quadrat hat die Seitenlänge $a=5$ und damit den Flächeninhalt: $A_\square = 5^2= 25$.

Jetzt kannst du diese Terme in die Formel für den Flächeninhalt des gelben Dreiecks $A_{\bigtriangleup\text{gelb}}=A_\square-A_{\bigtriangleup\text{grün}}-2\cdot A_{\bigtriangleup \text{orange}}$ einsetzen und erhältst:

Der Term $A(x)$ für den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ lautet:

Funktionen aufstellen

Formel für das Quadrat aufstellen:

$A_\square=a^2$

$a=x+y$

$A_\square=\left(x+y\right)^2$

Formel für das Dreieck aufstellen:

Formel für die Fläche des Pfeils aufstellen:

$=(x^2+2\mathrm{xy}+y^2)-y^2$

$=x^2+2xy$

Term für Randstücke

Term für Innenstücke

Zur Kontrolle kannst du zur Zahl der Innen-und Randstücke die Zahl der Eckstücke ( 4 Stück ) dazuzählen und vereinfachen, dann muss sich die Gesamtzahl der Stücke $\left(n^2\right)$ ergeben.

$\;\Rightarrow4\left(n-2\right)+\left(n-2\right)^2+4=\;\;$

$=4n-8+n^2-2n-2n+4+4$

$=n^2$

Nebenwinkel ergänzen sich zu $180^\circ$.

Daher ist $\alpha^\ast=180^\circ-\alpha$ und genauso $\beta^\ast=180^\circ-\beta$ und $\gamma^\ast=180^\circ-\gamma$.

Der Term $\left(180^\circ-\alpha\right)+\left(180^\circ-\beta\right)+\left(180^\circ-\gamma\right)$ ist also die Summe der Außenwinkel.

Wenn du dies als $540^\circ-\left(\alpha+\beta+\gamma\right)$ schreibst, und beachtest, dass die Summe der Winkel im Dreieck $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ ist, erhältst du, dass die Summe der Außenwinkel gleich $540^\circ-180^\circ=360^\circ$ ist.