Aufgaben zum Aufstellen von Termen mit Variablen aus Geometrie u. a.

Das $\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{ne}\backslash textcolor\{006400\}\{\; \backslash text\{grüne\}\; \}$ Dreieck hat die Grundseite $xx$ und die Höhe $xx$, also den Flächeninhalt: $A_{△\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot x\cdot x={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\mathrm{.}A\_\{\backslash bigtriangleup\backslash text\{grün\}\}\; =\; \backslash dfrac12\backslash cdot\; x\backslash cdot\; x\; =\; \backslash dfrac12x^2.$

Ein oranges Dreieck hat die Grundseite $a=5a=5$ und die Höhe $a-x=5-xa-x\; =\; 5-x$, als Flächeninhalt also: $A_{△\text{orange}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot (5-x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 25-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 5\cdot x=\mathrm{12,5}-\mathrm{2,5}\cdot xA\_\{\backslash bigtriangleup\; \backslash text\{orange\}\}\; =\; \backslash dfrac12\; \backslash cdot\; 5\; \backslash cdot\; \backslash left(5-x\; \backslash right)\; =\; \backslash dfrac12\backslash cdot25\; -\; \backslash dfrac12\; \backslash cdot\; 5\; \backslash cdot\; x=12\{,\}5\; -\; 2\{,\}5\; \backslash cdot\; x$

Das Quadrat hat die Seitenlänge $a=5a=5$ und damit den Flächeninhalt: $A_{\mathrm{\square }}=5^2=25A\_\backslash square\; =\; 5^2=\; 25$.

Jetzt kannst du diese Terme in die Formel für den Flächeninhalt des gelben Dreiecks $A_{△\text{gelb}}=A_{\mathrm{\square }}-A_{△\text{gr}\ddot{\text{u}}\text{n}}-2\cdot A_{△\text{orange}}A\_\{\backslash bigtriangleup\backslash text\{gelb\}\}=A\_\backslash square-A\_\{\backslash bigtriangleup\backslash text\{grün\}\}-2\backslash cdot\; A\_\{\backslash bigtriangleup\; \backslash text\{orange\}\}$ einsetzen und erhältst:

Der Term $A(x)A(x)$ für den Flächeninhalt des Dreiecks $ABCABC$ lautet:

Funktionen aufstellen

Formel für das Quadrat aufstellen:

$A_{\mathrm{\square }}=a^{2}A\_\backslash square=a^2$

$a=x+ya=x+y$

$A_{\mathrm{\square }}={(x+y)}^{2}A\_\backslash square=\backslash left(x+y\backslash right)^2$

Formel für das Dreieck aufstellen:

Formel für die Fläche des Pfeils aufstellen:

$=(x^2+2\mathrm{x}\mathrm{y}+y^2)-y^2=(x^2+2\backslash mathrm\{xy\}+y^2)-y^2$

$=x^2+2xy=x^2+2xy$

Term für Randstücke

Term für Innenstücke

Zur Kontrolle kannst du zur Zahl der Innen-und Randstücke die Zahl der Eckstücke ( 4 Stück ) dazuzählen und vereinfachen, dann muss sich die Gesamtzahl der Stücke $\left(n^2\right)\backslash left(n^2\backslash right)$ ergeben.

$\Rightarrow 4(n-2)+{(n-2)}^2+4=\backslash ;\backslash Rightarrow4\backslash left(n-2\backslash right)+\backslash left(n-2\backslash right)^2+4=\backslash ;\backslash ;$

$=4n-8+n^2-2n-2n+4+4=4n-8+n^2-2n-2n+4+4$

$=n^2=n^2$

Nebenwinkel ergänzen sich zu ${180}^{\circ }180^\backslash circ$.

Daher ist ${\alpha }^{\ast }={180}^{\circ }-\alpha \backslash alpha^\backslash ast=180^\backslash circ-\backslash alpha$ und genauso ${\beta }^{\ast }={180}^{\circ }-\beta \backslash beta^\backslash ast=180^\backslash circ-\backslash beta$ und ${\gamma }^{\ast }={180}^{\circ }-\gamma \backslash gamma^\backslash ast=180^\backslash circ-\backslash gamma$.

Der Term $({180}^{\circ }-\alpha )+({180}^{\circ }-\beta )+({180}^{\circ }-\gamma )\backslash left(180^\backslash circ-\backslash alpha\backslash right)+\backslash left(180^\backslash circ-\backslash beta\backslash right)+\backslash left(180^\backslash circ-\backslash gamma\backslash right)$ ist also die Summe der Außenwinkel.

Wenn du dies als ${540}^{\circ }-(\alpha +\beta +\gamma )540^\backslash circ-\backslash left(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma\backslash right)$ schreibst, und beachtest, dass die Summe der Winkel im Dreieck $\alpha +\beta +\gamma ={180}^{\circ }\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=180^\backslash circ$ ist, erhältst du, dass die Summe der Außenwinkel gleich ${540}^{\circ }-{180}^{\circ }={360}^{\circ }540^\backslash circ-180^\backslash circ=360^\backslash circ$ ist.