Löse die quadratische Gleichung  %%ax^2+4x+4=2x+3%%  in Abhängigkeit vom Parameter %%a%%

Mitternachtsformel mit Parametern

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%%ax^2+4x+4=2x+3%%

Forme die quadratische Gleichung so um, dass auf einer Seite die Null steht, und fasse so weit wie möglich zusammen.

%%ax^2+2x+1=0%%

Lies die Werte der Koeffizienten %%a%%, %%b%% und %%c%% ab. Beachte, dass das %%a%% auf der linken Seite dem %%a%% aus der allgemeinen Form entspricht.

%%a=a,\;b=2,\;c=1%%

Im Sonderfall %%a=0%% fällt der Term mit %%x^2%% weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung. Diesen Fall betrachtest du unten gesondert.

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol\neq\mathbf0%%:

Berechne die Diskriminante %%D=b^2-4ac%% der Gleichung.

%%D=2^2-4\cdot a\cdot1=4-4a=4(1-a)%%

Überprüfe die Diskriminante in Abhängigkeit von %%a%% auf ihr Vorzeichen, indem du sie gleich Null setzt.

%%D=4(1-a)=0\Leftrightarrow a=1%%

Du kannst %%1-a%% als eine Gerade mit negativer Steigung betrachten und so das Vorzeichenverhalten der Diskriminante bestimmen. Dadurch erhältst du eine Aussage über die Anzahl der Lösungen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/9357_k5VXuRFeQ7.xml

Dabei ist %%a=0%% ein Spezielfall, den du getrennt betrachten musst.

%%a<1\;\Rightarrow\;D>0\;\Rightarrow%%

%%a=1\;\Rightarrow\;D=0\;\Rightarrow%%

%%a>1\;\Rightarrow\;D<0\;\Rightarrow%%

%%a=1\;\Rightarrow%%

zwei Lösungen

eine Lösungen

keine Lösung

Spezialfall

Wende die nun Mitternachtsformel an.

%%a<1:\:x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4(1-a)}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{1-a}}a%%

%%a=1:\:x=\frac{-2\pm0}{2\cdot1}=-1%%

%%a>1:\;keine\;Lösung%%

Sei nun %%\boldsymbol a\boldsymbol=\mathbf0%%:

In diesem Fall fällt der Term mit %%x^2%% weg und es ergibt sich eine lineare Gleichung.

Diese kannst du durch Äquivalenzumformung lösen.

%%\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}0\cdot x^2+2x+1&=&0\\2x+1&=&0\\x&=&-\frac12\end{array}\\\end{array}%%

Ergebnis:

%%a<1\;\Rightarrow\;x_{1,2=}\frac{-1\pm\sqrt{1-a}}a%%

%%a=1\;\Rightarrow\;x=-1%%

%%a>1\;\Rightarrow\;keine\;Lösung%%

%%a=1\;\Rightarrow x=\frac12%%