Die Schwierigkeit bei einer Division von zwei Dezimalbrüchen liegt in der Positionierung des Kommas im Ergebnis.

Dezimalzahl als Dividend

Beim Rechnen ignoriert man zunächst das Komma und ergänzt es im Ergebnis, sobald man das Komma "überschreitet".

Man kann auch eine Überschlagsrechnung machen, indem man z.B. auf ganze Zahlen rundet. Das Ergebnis der Überschlagsrechnung ist dann ein guter Anhaltspunkt für die Position des Kommas.

Beispiel

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}14,4:12=1,2\\ \underline{-12}\\ \hphantom{-1}\;24\\ \hphantom{-}\underline{-24}\\ \hphantom{-1,,}0 \end{array}%%

Sobald man die %%4%% hinter dem Komma "runter nimmt", wird das Komma im Ergebnis gesetzt.

Alternativ: %%12%% passt ungefähr ein mal in %%14%%, das Ergebnis muss also ungefähr %%1%% sein.

Dezimalzahl als Divisor

Was bedeutet es überhaupt, durch eine Dezimalzahl zu teilen?

Frage: Wieviele 0,2-Liter-Gläser kann man mit drei Litern Wasser füllen?

Diese Frage lässt sich als Divisionsaufgabe darstellen:

%%3\;\mathrm{ l}:0,2 \;\mathrm{ l}%%

Nun kann man wie gewohnt die Einheit wechseln, um mit ganzen Zahlen rechnen zu können:

%%3000\;\mathrm{ml}:200\;\mathrm{ml}%%

Man kann dies nun z.B. schriftlich berechnen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}3000\;\mathrm{ml}:200\;\mathrm{ml}=15\\ \underline{-200}\\ \hphantom{-}1000\\ \underline{-1000}\\ \hphantom{-100}0 \end{array}%%

Antwort: Man kann 15 Gläser befüllen.

Das Wechseln der Einheit kann man verallgemeinern und so jede Division mit Dezimalzahl als Divisor in eine Division ganzer Zahlen überführen.

Das Wichtige ist, dass man das Komma um gleich viele Stellen bei Dividend und Divisor verschiebt.

Bei der Division durch eine Zahl kleiner als %%1%% ist das Ergebnis (betragsmäßig) größer als der Dividend. Im Beispiel oben ist etwa %%15%% größer als %%3%%.

Beispiel

%%\begin{array}{l} \hphantom{=}137:0,25\\ =137,00:0,25\\ =13700:25 \end{array}%%

Man ergänzt gegebenenfalls Nachkommastellen mit Nullen, verschiebt dann die Kommas und kann wie gewohnt rechnen.

Division zweier Dezimalzahlen

Sind sowohl Dividend als auch Divisor Dezimalzahlen (mit wenigstens einer Nachkommastelle ungleich Null), lässt sich mit der eben beschriebenen Methode "Komma verschieben" die Division entweder auf den ersten Fall (Dezimalzahl als Dividend) oder auf die Division zweier ganzer Zahlen zurückführen.

Beispiel

%%\hphantom{=}34,765:4,09%%

%%=3476,5:409%%

%%=34765:4090%%

Man kann mit beiden Umformungen durch schriftliches Dividieren das Ergebnis berechnen.

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}3476,5:409=8,5\\ \underline{-3272}\\ \hphantom{-3}2045\\ \hphantom{3}\underline{-2045}\\ \hphantom{-2045}0 \end{array}%%

%%\begin{array}{l} \hphantom{-}34765,0:4090=8,5\\ \underline{-32720}\\ \hphantom{-3}20450\\ \hphantom{3}\underline{-20450}\\ \hphantom{-20450}0 \end{array}%%

Bei der zweiten Rechnung sieht man, dass man gegebenenfalls eine (oder auch mehrere) Nachkommastellen mit Nullen ergänzen muss.

In diesem Video werden weitere Beispiele gezeigt und nochmal erklärt
Hier gibt es weitere Übungsaufgaben

Sonderfälle

Division durch 10, 100 usw.

Ein Spezialfall ist die Division eines Dezimalbruchs durch %%10,100,1000,…%%. Dafür muss man einfach nur das Komma verschieben, für jede Null im Divisor um eine Stelle nach links.

Beispiel:

%%3,4: 100=0,34:10=0,034%%

Division durch 0,1 oder 0,01 usw.

Sehr ähnlich ist der Fall der Division eines Dezimalruchs durch %%0,1%%, %%\;0,01%%, %%\;0,001…%%. Hier verschiebt man ebenfalls das Komma, bloß diesmal nach rechts, wieder um eine Stelle für jede Null im Divisor.

Beispiel:

%%3,4:0,01=34:0,1=340%%

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Zu article Division von Dezimalbrüchen: Kommaverschiebung nur so weit nötig bis Divisor ohne Komma
Renate 2014-09-12 18:45:37
Ich persönlich würde eigentlich das Komma nur so weit verschieben, bis der Divisor eine ganze Zahl ist - und dann die Regel beachten, dass bei Division eines Dezimalbruchs durch eine ganze Zahl das Komma im Ergebnis in dem Augenblick gesetzt werden muss, in den bei der Division das Komma im Dividenden überschritten wird.
Nish 2014-09-16 15:16:07
@Renate: Natürlich ist ihre Vorgehensweise auch vollkommen richtig. Wir haben uns nur gedacht, dass unser Vorgehen einfacher/intuitiver für den Leser ist, dass man sowohl Dividenden und Divisor solange mit 10 multipliziert, dass beide ganze Zahlen sind, und man dann die schriftliche Division verwenden kann.
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