Die Periode einer Dezimalzahl mit unendlichen Nachkommastellen ist eine Folge von Ziffern, die sich unendlich oft wiederholt.

Als Zeichen für die Periode verwendet man einen waagrechten Strich über den Ziffern, die sich wiederholen.

Beispiele

Sprechweise

Der Bruch %%\frac13=0,333333333\ldots=0,\overline3%% hat die Periode 3.

Man liest die Dezimalzahl als: Null Komma Periode 3.

Der Bruch %%\frac{16}{99}=0,161616161616\ldots=0,\overline{16}%% hat die Periode 16.

Man liest sie als: Null Komma Periode 16.

Der Bruch %%\frac16=0,1666666\ldots=0,1\overline6%% hat die Periode 6 (nicht 16)

Man liest sie als: Null Komma 1 Periode 6.

Der Bruch %%\frac27=0,\overline{285714}%% hat die Periode 285714.

Man liest sie als: Null Komma Periode 285714

Der Bruch %%\frac34=0,75%% hat keine Periode.

Man liest sie als: Null Komma sieben fünf

Reinperiodische Dezimalzahlen

Als reinperiodische Dezimalzahlen bezeichnet man Zahlen, bei denen die Periode direkt hinter dem Komma beginnt.

Beispiele:

  • %%0,\overline{78}%%
  • %%1,\overline{7}%%
  • %%8,\overline{478}%%

Gemischtperiodische Dezimalzahlen

Als gemischtperiodische Dezimalzahlen bezeichnet man periodische Zahlen, bei denen zwischen dem Komma und der Periode noch eine oder mehrere Zahlen stehen, d.h. die Periode beginnt nicht direkt hinter dem Komma.

Beispiele:

  • %%2,5\overline{35}%%
  • %%524,57\overline{924}%%
  • %%35,6\overline{534}%%

Umwandlung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch

Eine periodische Dezimalzahl lässt sich auch immer als Bruch schreiben. Wie man von der Dezimalzahlschreibweise auf die Bruchschreibweise kommt, kann man im Artikel Umrechnen von Dezimalzahlen in Brüche nachlesen.

Satz über die Länge einer Periode

Jede Dezimalzahl kann höchstens eine so lange Periode haben wie der Nenner im entsprechenden Bruch minus 1.

Begründung

Man betrachtet jetzt nur Brüche, die eine periodische Dezimalzahldarstellung haben.
Wenn man von der Bruchdarstellung auf die (periodische) Dezimalbruchdarstellung wechseln will, kann man einfach den Zähler durch den Nenner schriftlich dividieren. Diese Division geht nicht auf und es bleiben Reste übrig. Diese können nur die Zahlen sein, die kleiner als der Nenner sind, außgenommen der 0. Warum?
Wäre es die Null, würde die Division aufgehen und man erhielte keinen periodischen Bruch (was hier aber gerade angenommen wird). Wäre der Rest größer oder gleich dem Nenner, hätte man bei der Division einen Fehler gemacht, da dann der Divisor (also in diesem Fall der Nenner) noch einmal mehr in den Dividend hineinpassen würde.
Es können nur Reste auftauchen, die mindestens eins kleiner als der Nenner sind. Taucht ein Rest nochmals auf, wiederholt sich die Division ab dieser Stelle. Der Bruch wird also periodisch. Die Länge der Periode des Dezimalbruchs kann also nur "Nenner minus 1"-lang sein.

Beispiele

Der Bruch %%\frac17%% hat höchstens eine Periode der Länge 6, da %%7-1=6%% ist.

%%\frac17=0,\overline{142857}%% hat eine Periodenlänge von 6.

Der Bruch %%\frac1{17}%% hat höchstens eine Periode der Länge 16, da %%17-1=16%% ist.

%%\frac1{17}=0,\overline{0588235294117647}%% hat eine Periodenlänge von 16.

Der Bruch %%\frac13%% hat höchstens eine Periode von 2, %%3-1=2%% ist.

%%\frac13=0,\overline3%% hat nur eine Periodenlänge von 1.

Am letzten Beispiel sieht man deutlich, dass der Satz nur eine Aussage über die maximale Periodenlänge macht (und nicht über die exakte Periodenlänge).

Der Satz gilt übrigens in sämtlichen Stellenwertsystemen. %%0,{\overline{5\mathrm B}}_{17}%% wäre z.B. unser %%\frac13%% im Heptadezimalsystem.

Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung

Man ist aus der Mathematik gewohnt, dass diese eine exakte und damit eindeutige Wissenschaft ist. Bei der Dezimalbruchschreibweise tritt nun eine Uneindeutigkeit auf. Es gilt nämlich:

%%0,\overline9=1%%

Man kann die 1 durch zwei unterschiedlichen Dezimalzahlen darstellen: Durch die bekannte 1 und durch %%0,\overline9%%.

Begründung

$$1 = \frac{3}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 0,\overline3 + 0,\overline3 + 0,\overline3 = 0,\overline9.$$

Weitere, auch für Schüler*innen verständliche, Beweise findet man auf der Wikipedia

Viele anderen Zahlen haben natürlich auch mehrdeutige Darstellungsmöglichkeiten als Dezimalzahl:

  • %%2=1,\overline9%%
  • %%0,25=0,24\overline9%%
  • usw.

Unendlich viele, nichtperiodische Nachkommastellen

Es gibt auch Dezimalzahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die sich aber nicht periodisch wiederholen. Solche Zahlen nennt man irrationale Zahlen. Diese sind in den reellen Zahlen enthalten.

Einer der bekanntesten Vertreter dieser Zahlen ist %%\pi%%

%%\pi =3.14159265358979323…%%

Achtung:

Die irrationalen Zahlen, kann man nicht als Bruch darstellen!

Kommentieren Kommentare

Zu article Periode (eines Bruchs): Umwandeln von Perioden in Brüche
XInani 2015-09-16 19:09:24
Kann mir bitte jemand schnellstmöglich schreiben wieso das mit den neuner so funktioniert. Ich verstehe die Rechnung allerdings ist mir der Hintergrund nicht klar, wie komme ich denn darauf dass ich neuner einsetzen muss? Danke für die Antwort :)
Hannes 2015-09-17 15:23:24
Hi Xlnani,
vielen Dank für deinen Kommentar! Von genau solchen Nachfragen lebt Serlo!
Ich habe im Artikel "Umrechnen von Dezimalzahlen in Brüche" (https://de.serlo.org/mathe/zahlen-groessen/bruchrechnen-dezimalzahlen/dezimalbrueche/umrechnen-dezimalzahlen-brueche) bei "Methode 1" einen Spoiler "Warum ist das so?" eingefügt.
Ich hoffe er hilft dir weiter! Falls nicht kannst du dich gernen nochmal hier bei der Diskussion melden!
Viele Grüße
Hannes
Hannes 2015-09-17 15:33:08
Der Spoiler ist natürlich bei "Methode 2" :)
XInani 2015-09-17 18:02:08
Vielen Dank jetzt wurde mir das klar ;)
Das ist echt eine tolle Seite :)
XInani 2015-09-17 18:02:10
Vielen Dank jetzt wurde mir das klar ;)
Das ist echt eine tolle Seite :)
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