Es gibt drei Methoden, eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln:

1. Nachkommastellen zählen

  • Diese Methode funktioniert bei allen endlichen Dezimalzahlen.

2. Periodenlänge zählen

  • Diese Methode funktioniert bei allen periodischen Dezimalzahlen

3. Auswendiglernen

  • Es ist sehr nützlich, wenn man von ein paar Brüchen die Dezimalbruchschreibweise auswendig kann.

Methode 1: Nachkommastellen zählen

Wenn du eine endliche Dezimalzahl umrechnen willst, schreibtst du zunächst einen leeren Bruch. Dann zählst du die Stellen, die die Dezimalzahl hinter dem Komma hat. Diese Zahl merkst du dir. Schreibe in den Nenner (unter den Bruchstrich) eine Zehnerpotenz (also eine 1) mit so vielen Nullen, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen hat.

Anschließend notierst du in den Zähler (über den Bruchstrich) die Dezimalzahl ohne Komma.

Das folgende Beispiel verdeutlicht die Methode:

Beispiel

Schreibe die Dezimalzahl %%5,086%% als Bruch.

  • Anzahl der Nachkommastellen: %%3%%, also kommt eine %%1000%% in den Nenner.
  • Ohne Komma heißt die Zahl 5086. Diese kommt in den Zähler.

%%\Rightarrow 5{,}086=\dfrac{5086}{1000}= \dfrac{2543}{500}%%

Schreibe die Dezimalzahl %%0,06984%% als Bruch.

  • Anzahl der Nachkommastellen: %%5%%, also kommt eine %%100.000%% in den Nenner.
  • Ohne Komma heißt die Zahl %%6984%% (die Nullen vor der Zahl werden einfach weggelassen). Diese Zahl kommt in den Zähler.

%%\Rightarrow 0{,}06984=\dfrac{6984}{100000}= \dfrac{873}{12500}%%

Die Brüche wurden jeweils im letzten Schritt gekürzt.

Tipp zum Kürzen

Da die Zehnerpotenz nur %%2%% und %%5%% als Primteiler enthält, braucht man auch nur nach diesen Teilern Ausschau zu halten!

Im zweiten Beispiel hättest du statt mit %%8%% auch dreimal nacheinander mit %%2%% kürzen können.

Aufgaben zum Üben:

Methode 2: Periodenlänge zählen

Du unterscheidest hier zwischen reinperiodischen und gemischtperiodischen Dezimalzahlen.

Reinperiodische Dezimalzahlen

Wenn du eine reinperiodische Dezimalzahl in einen Bruch umrechnen willst, dann zählst du zunächst die Stellen der Periode (also wie viele Stellen unter dem Periodenstrich stehen). In den Nenner schreibst du nun so viele 9en wie die Periode Stellen hat. In den Zähler schreibst du die Periode selbst.

Beispiel:

Schreibe die Dezimalzahl %%0,\overline{12}%% als Bruch.

  • Die Periode der Zahl %%0,\overline{12}%% hat die Länge 2.
  • Schreibe nun genauso viele 9en wie die Periode Stellen hat in den Nenner des Bruchs, also zwei 9en.

%%\dfrac{}{99}%%

  • In den Zähler schreibst du die Periode, also die Zahl 12.

%%\dfrac{12}{99}%%

%%\Rightarrow 0,\overline{12}=\dfrac{12}{99}%%

Warum ist das so?
  • Du weißt bestimmt, dass %%\frac19=0,\overline1%% ist.

  • Was ist dann %%0,\overline7%% ?:

  • %%0,\overset-7=7\cdot 0,\overline1=7\cdot \frac19=\frac79%%

  • Betrachte nun genauso %%\frac1{99}%%:

  • %%\frac{1}{99}=0,\overline{01}%%

  • Was ist dann zum Beispiel %%0,\overline{45}%% ?
    %%0,\overline{45}=45\cdot 0,\overline{01}=45\cdot \frac1{99}=\frac{45}{99}%%

  • Und genauso %%\frac1{999}=0,\overline{001}%%

  • Was ist dann %%0,\overline{726}%% ?

  • %%0,\overline{726}=726\cdot 0,\overline{001}=726\cdot \frac1{999}=\frac{726}{999}%%

  • und so weiter

Schreibe die Dezimalzahl %%2,\overline{23}%% als Bruch.

  • Schreibe den Bruch zuerst als Summe.

%%2,\overline{23}=2+0,\overline{23}%%

  • Wandle nun den zweiten Summanden in einen Bruch um, indem du so viele 9en in den Nenner schreibst, wie die Periode Stellen hat. Hier sind es 2. In den Zähler schreibst du die Periode, also die Zahl 23.

%%2+0,\overline{23}= 2+ \dfrac{23}{99}%%

  • Wandle nun die Summe wieder in einen Bruch um.

%%2+ \dfrac{23}{99}= \dfrac{198}{99}+\dfrac{23}{99} =\dfrac{221}{99}%%

%%\Rightarrow 2,\overline{23}=\dfrac{221}{99}%%

Gemischtperiodische Dezimalzahlen

Willst du eine gemischtperiodische Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln, dann multiplizierst du die Zahl zuerst mit einer Potenz von 10, so dass eine reinperiodische Dezimalzahl entsteht. Diese Zahl wandelst du dann wie oben in einen Bruch um. Zum Schluss musst du aber wieder den ersten Schritt rückgängig machen und den Bruch durch die Zehnerpotenz dividieren, mit der du die Zahl am Anfang multipliziert hast.

Beispiel:

Schreibe die Dezimalzahl %%0,1\overline6%% als Bruch.

  • Multipliziere die Zahl mit 10, damit du eine reinperiodische Dezimalzahl erhältst.

%%0,1\overline6 \cdot 10 = 1,\overline6%%

  • Schreibe nun die Zahl als Summe.

%%1,\overline6 = 1+ 0,\overline6%%

  • Wandle nun die reinperiodische Dezimalzahl in einen Bruch um, indem du in den Zähler die Periode schreibst. In den Nenner schreibst du so viele 9en wie die Periode Stellen hat.

%%1+ 0,\overline6 = 1+ \dfrac69%%

  • Mache nun den ersten Schritt rückgängig, indem du durch 10 teilst.

%%(1+ \dfrac69):10=(\dfrac99+\dfrac69):10=\dfrac{15}{9}\cdot \dfrac {1}{10} = \dfrac{15}{90}=\dfrac16%%

%%\Rightarrow0,1\overline6= \dfrac16%%

Methode 3: Auswendiglernen

Im Folgenden findest du zwei Tabellen mit Brüchen und zugehörigen Dezimalzahlen, die man auswendig wissen sollte. Es erleichtert den Schulalltag und hilft beim schnellen Lösen von Aufgaben!

endliche Dezimalzahlen

Bruch

%%\frac{1}{2}%%

%%\frac{1}{4}%%

%%\frac{3}{4}%%

%%\frac{1}{5}%%

%%\frac{1}{8}%%

Dezimalzahl

%%0,5%%

%%0,25%%

%%0,75%%

%%0,2%%

%%0,125%%

periodische Dezimalzahlen

Bruch

%%\frac{1}{3}%%

%%\frac{2}{3}%%

%%\frac{1}{6}%%

%%\frac{5}{6}%%

%%\frac{1}{9}%%

%%\frac{2}{9}%%

%%\frac{4}{9}%%

Dezimalzahl

%%0,\overline{3}%%

%%0,\overline{6}%%

%%0,1\overline6%%

%%0,8\overline3%%

%%0,\overline1%%

%%0,\overline2%%

%%0,\overline4%%

Wenn man diese Brüche kennt, kann man auch andere Dezimalzahlen umwandeln!

Beispiel

%%3,\overline6=3\dfrac{2}{3} = \dfrac{11}{3}%%

%%0,\overline7=7\cdot0,\overline1=7\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{7}{9}%%

  • Schreibe zuerst als Produkt und dann als Bruch.

%%0,2\overline7=0,1\overline6 + 0,\overline1=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{9}= \dfrac{5}{18}%%

  • Schreibe zuerst als Summe und dann als Bruch.
Kommentieren Kommentare

NamjoonsMono 2019-02-15 17:21:27
Ich habe eine Frage. Wenn eine Periode sehr viele Stellen hat, zbs. 2,6666666666666666 kann man ja nicht alle zählen. Wie geht man dann vor?
Renate 2019-02-16 16:29:55
Hallo NamjoonsMono,


wenn die Zahl wirklich %%2,6666666666666666%% ist, (also nach 16 Sechsen hinter dem Komma aufhört), ist sie nicht periodisch, sondern endlich.
Man muss dann die Sechsen zählen, (auch wenn das mühsam sein mag), und in den Nenner des Bruches eine 1 mit entsprechend vielen Nullen (hier 16) schreiben.


Wenn du aber 2,6666...... (mit unendlich vielen Sechsen hinter dem Komma) gemeint hast, dann ist das %%2,\overline{6}%%, und die Periodenlänge ist nur 1 (und nicht 16 oder sonst irgendetwas "langes" ;) ).

Natürlich gibt es auch Dezimalzahlen mit längerer Periode.
%%28,\overline {947} = 28,947947947947947.....%% hat zum Beispiel die Periodenlänge %%3%%,
und
%%257,\overline {17127}=257,17127171271712717127....%% hat die Periodenlänge 5 usw.

Wichtig ist, wann der Punkt ist, ab dem sich die Ziffernfolge unendlich oft und immer wieder gleich wiederholt.


Und wenn es lange dauert bis zu diesem Punkt, dann hilft es alles nichts, dann muss man bis dahin zählen.
(Aber keine Sorge: Kein Lehrer wird in einem Test eine Dezimalzahl mit zum Beispiel 524 Stellen in der Periode auszählen lassen ;) .)


Und wenn es unendlich lange dauert, bis die Periode "fertig" ist, fragst du vielleicht jetzt?
Nun, dann ist es eben in Wirklichkeit keine Periode.

Eine Zahl, die auch nach unendlich vielen Stellen hinter dem Komma weder aufhört, noch periodisch wird (d.h. anfängt, sich immer wieder gleich zu wiederholen), ist kein endlicher und kein periodischer Dezimalbruch, sondern eine irrationale Zahl.

Und irrationale Zahlen kann man nicht in Brüche ganzer Zahlen verwandeln.


So, das war jetzt eine lange Antwort, und bitte entschuldige, dass sie etwas "verspätet" kommt.

Ich hoffe, ich habe deine Frage richtig verstanden (ich war mir nämlich am Anfang nicht ganz sicher, was du genau meinst), und konnte sie beantworten?

Viele Grüße
Renate
NamjoonsMono 2019-02-17 09:53:09
Hallo, vielen Dank für die Antwort. Ich denke, jetzt habe ich es verstanden. :) Viele Grüße, NamjoonsMono
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Zu article Umrechnen von Dezimalzahlen in Brüche : Begründung
Hannes 2014-11-30 11:27:42
Kann man bei "Reinperiodische Dezimalzahlen" in den Spoiler noch eine Erklärung packen?
und beim Beispiel b) wird ein anderes Beispiel gerechnet als in der Aufgabe steht (es steht 2,32 periode und gerechnet wird mit 2,23 periode
Katha26 2014-12-03 12:13:33
Ich habe reinperiodisch und gemischtperiodisch noch in den Artikel Periode (eines Bruchs) gepackt, habe nur vergessen dies zu verlinken. Den Zahlendreher hab ich auch grade geändert.