1Lösung 1c

Aufgabenstellung

$1$ Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

$a)$ Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$-Achse und begründen Sie, dass $G_f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. (2 BE) $b)$ Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_f$ sowie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und für $x \to \infty$. (3 BE)

Lösung

Zweite Ableitung von $f$

Um die zweite Ableitung zu bestimmen, benötigst du zunächst die erste Ableitung. Beachte dazu die Ableitungsregeln.

$f'(x)=e^{\frac{1}{2}x}\cdot \frac {1}{2} + e^{-\frac{1}{2}x}\cdot (-\frac {1}{2})$

Fasse so weit wie möglich zusammen.

$f'(x)=\frac {1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} -\frac {1}{2}\cdot e^{-\frac{1}{2}x}$

Kannst du noch etwas ausklammern?

$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$

Damit bist du beim Kontrollergebnis.

Leite die Ableitung noch einmal ab. Beachte wieder die Ableitungsregeln.

$f''(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}\cdot\frac{1}{2} -e^{-\frac{1}{2}x}\cdot (-\frac{1}{2})\right)$

Kannst du noch etwas ausklammern? Achte auf die Vorzeichen.

$f''(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right)$

$f''(x)=\frac{1}{4}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right)$

In der Klammer steht die Funktionsgleichung von $f(x)$. Daraus folgt:

$f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)$

Linkskrümmung nachweisen

Damit eine Linkskrümmung vorliegt, muss die zweite Ableitung immer positiv sein.

$f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)$

Du hast schon gezeigt, dass die Funktion $f(x)$ immer oberhalb der $x$-Achse verläuft, also gilt immer:

$f(x)>0$

Daraus folgt:

$f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)>0$

Und damit gilt dann auch:

$\Rightarrow$ $f$ ist linksgekrümmt