2Lösung 1d

Aufgabenstellung

$1$ Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

$a)$ Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$-Achse und begründen Sie, dass $G_f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. (2 BE)

$b)$ Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_f$ sowie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und für $x \to \infty$. (3 BE)

$c)$ Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung $f''$ von $f$ die Beziehung $f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)$ für $x\in \mathbb{R}$ gilt. Weisen Sie nach, dass $G_f$ linksgekrümmt ist. (4 BE)

$\rightarrow$ Zur Kontrolle: $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$

Lösung

Lage des Extrempunkts

Du kannst dir jetzt schon überlegen, dass es nur einen einzigen Extrempunkt geben kann, weil der ganze Graph linksgekrümmt ist.

Suche den Extrempunkt, indem du die Nullstelle der ersten Ableitung suchst:

Setze $f'(x)=0$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}\frac{1}{2}\cdot&\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)&=& 0 \quad &|\cdot 2\\&e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}&=&0 &|+e^{-\frac{1}{2}x}\\&e^{\frac{1}{2}x}&=&e^{-\frac{1}{2}x}\end{array}$

Das Ergebnis ist auf beiden Seiten gleich, wenn die Exponenten gleich sind. Dies kannst du dir entweder aus den Potenzgesetzen herleiten oder du wendest den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcrl}&e^{\frac{1}{2}x}&=&e^{-\frac{1}{2}x} \quad &|\;\ln()\\&\frac{1}{2}x &=& -\frac{1}{2}x &|\cdot 2 \\& x & = & -x\end{array}$

Diese Gleichung ist nur für $x=0$ erfüllt.

Da in $a)$ schon der $y$-Achsenabschnitt ($f(0)=2$) berechnet wurde ergibt sich der Extrempunkt $EP(0|2)$.

Art des Extrempunkts

In $c)$ wurde bereits gezeigt, dass $f''(x)>0$ ist (dies gilt also insbesondere auch für $f''(0)$), also handelt es sich um einen Tiefpunkt.