3Lösung 1e

Aufgabenstellung

$11$ Gegeben ist die in $\mathbb{R}\backslash mathbb\{R\}$ definierte Funktion $f:x\mapsto e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}f:\; x\; \backslash mapsto\; \backslash ;\; e^\{\backslash frac\{1\}\{2\}x\}+e^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}x\}$. Der Graph von $ff$ wird mit $G_{f}G\_f$ bezeichnet.

$a)a)$ Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_{f}G\_f$ mit der $yy$-Achse und begründen Sie, dass $G_{f}G\_f$ oberhalb der $xx$-Achse verläuft. (2 BE)

$b)b)$ Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_{f}G\_f$ sowie das Verhalten von $ff$ für $x\to -\mathrm{\infty }x\; \backslash to\; -\backslash infty$ und für $x\to \mathrm{\infty }x\; \backslash to\; \backslash infty$. (3 BE)

$c)c)$ Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}f\text{'}\text{'}$ von $ff$ die Beziehung $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)f\text{'}\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; f(x)$ für $x\in \mathbb{R}x\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ gilt. Weisen Sie nach, dass $G_{f}G\_f$ linksgekrümmt ist. (4 BE)

$\to \backslash rightarrow$ Zur Kontrolle: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot (e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x})f\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\backslash left(e^\{\backslash frac\{1\}\{2\}x\}-e^\{-\backslash frac\{1\}\{2\}x\}\backslash right)$

$d)d)$ Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von $G_{f}G\_f$. (3 BE)

Lösung

Berechnen der Tangentensteigung

Die Steigung der Tangente ist per Definition gleich zur Ableitung in einem Punkt. Setze also $x=2x=2$ in die erste Ableitung ein.

Die Steigung ist also $\mathrm{1,2}1\{,\}2$.

Zeichnen des Punktes und der Tangente

Bestimme zunächst die $yy$-Koordinate von $PP$.

Die Koordinaten des Punktes sind also $P(2\mathrm{\mid }\mathrm{3,1})P(2|3\{,\}1)$.

Du zeichnest den Punkt Punkt $PP$ in ein Koordinatensystem und bestimmst mit Hilfe eines Steigungsdreiecks einen weiteren Punkt $QQ$. Diese beiden Punkte verbindest du zu der Geraden $gg$.