3Lösung 1e

Aufgabenstellung

$1$ Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$. Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

$a)$ Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$-Achse und begründen Sie, dass $G_f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. (2 BE)

$b)$ Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_f$ sowie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und für $x \to \infty$. (3 BE)

$c)$ Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung $f''$ von $f$ die Beziehung $f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)$ für $x\in \mathbb{R}$ gilt. Weisen Sie nach, dass $G_f$ linksgekrümmt ist. (4 BE)

$\rightarrow$ Zur Kontrolle: $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$

$d)$ Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von $G_f$. (3 BE)

Lösung

Berechnen der Tangentensteigung

Die Steigung der Tangente ist per Definition gleich zur Ableitung in einem Punkt. Setze also $x=2$ in die erste Ableitung ein.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}&f'(2)&=&\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}\cdot2}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\right)\\&&=& \frac{1}{2}\cdot\left(e^1-e^{-1}\right)\\&&\approx& 1{,}2\end{array}$

Die Steigung ist also $1{,}2$.

Zeichnen des Punktes und der Tangente

Bestimme zunächst die $y$-Koordinate von $P$.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(2)&=& e^{\frac{1}{2}\cdot 2}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\\&=& e^1 + e^{-1}\\&\approx & 3{,}1\end{array}$

Die Koordinaten des Punktes sind also $P(2|3{,}1)$.

Du zeichnest den Punkt Punkt $P$ in ein Koordinatensystem und bestimmst mit Hilfe eines Steigungsdreiecks einen weiteren Punkt $Q$. Diese beiden Punkte verbindest du zu der Geraden $g$.