10Lösung 2c

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die $8{,}0m$ voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph $G_f$ aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich $-4\leq x\leq4$ modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte $F_1$ und $F_2$ der Masten durch die Punkte $(-4|0)$ bzw. $(4|0)$ dagestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

$a)$ Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechenen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)

$b)$ Berechen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE)

Dazu wird die in $\mathbb{R}$ definierte quadratische Funktion $q$ betrachtet, derenGraph den Scheitelpunkt $(0|2)$ hat und durch den Punkt $(4|f(4))$ verläuft.

Lösung

Quadratische Funktion erstellen

Aus der Angabe kannst du den Scheitelpunkt übernehmen. Trage diesen in die Scheitelform ein. Diese lautet $f(x)=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.

$q(x)=a(x-d)^2+e$

Setze ein.

$q(x)=a(x-0)^2+2$

$q(x)=ax^2+2$

Du findest $a$ heraus, indem du den gegebenen Punkt einsetzt und nach $a$ auflöst.

$q(4)=a\cdot 4^2+2$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}7{,}52&=&a\cdot 16+2\quad&|-2\\5{,}52&=&a\cdot 16\quad&|:16\\0{,}345&=&a\end{array}$

Setze alle Werte ein, damit du eine vollständige quadratische Funktion erhältst.

$q(x)=0{,}345\cdot x^2 + 2$