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Kurs

Analysis - Prüfungsteil A Aufgabengruppe 1

1 Aufgabe 2 - Lösung

g(x)=x2sin(x)g(x)=x^2\cdot\sin(x)

Setze für jedes xx jetzt x-x ein und überprüfe, ob die Gleichung g(x)=g(x)g(-x)=-g(x) erfüllt ist, dann ist die Punktsymmetrie gegeben.

g(x)=(x)2sin(x)g(-x)=(-x)^2\cdot sin(-x)

Da der Sinus punktsymmetrisch ist, kannst du das Minus in der Klammer nach außen ziehen.

g(x)=x2sin(x)=g(x)g(-x)=-x^2\cdot sin(x)=-g(x)

Damit ist die Punktsymmetrie bestätigt.

ππx2sin(x)dx\int_{-\pi}^{\pi}{x^2\cdot sin(x)}\text{d}x

Du hast gerade ausgerechnet, dass die Funktion punktsymmetrisch ist. Dazu kommt noch, dass du zwei Grenzen hast, die gleichweit vom Ursprung entfernt sind. Das sagt dir, dass die Flächen von π-\pi bis 00 und von 00 bis π\pi den gleichen Betrag haben. Wenn du sie jetzt voneinander abziehst, ist der Wert deines Integrals einfach 00.

Aufgrund von Punktsymmetrie und gleichen Betragsgrenzen gilt:

 

ππx2sin(x)dx=0\int_{-\pi}^{\pi}{x^2\cdot sin(x)}\text{d}x=0

2 Aufgabe 3 - Aufgabenstellung

33 Skizzieren Sie im Bereich 1x4-1\leq x\leq4 den Graphen einer in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit den folgenden Eigenschaften:

  • ff ist nur an der Stelle x=3x=3 nicht differenzierbar.

  • f(0)=2f(0)=2 und für die Ableitung ff' von ff gilt: f(0)=1f'(0)=-1

  • Der Graph von ff ist im Bereich 1<x<3-1< x < 3 linksgekrümmt.

(3 BE)

3 Aufgabe 3 - Lösung

Skizzieren des Graphen

  • Zeichne den gegebenen Punkt ein.

  • Zeichne die Tangente/Gerade im Punkt (02)(0|2) mit der Steigung 1-1.

  • Überlege dir, was es heißt, dass bei x=3x=3 die Funktion nicht differenzierbar ist. Hier muss also ein Loch oder ein Knick vorliegen.

  • Was bedeutet die Linkskrümmung? Es muss also ein Minimum geben.

Es gibt natürlich mehrere Lösungen. Hier ist eine mögliche.

Graph

4 Aufgabe 4 - Aufgabenstellung

44 Gegeben ist eine in R\mathbb{R} definierte ganzrationale Funktion ff dritten Grades, deren Graph GfG_f an der Stelle x=1x=1 einen Hochpunkt und an der Stelle x=4x=4 einen Tiefpunkt besitzt.

 

a)a) Begründen Sie, dass der Graph der Ableitung ff' von ff eine Parabel ist, welche die xx-Achse in den Punkten (10)(1|0) und (40)(4|0) schneidet und nach oben geöffnet ist. (3BE)

 

b)b) Begründen Sie, dass 2,52{,}5 die xx-Koordinate des Wendepunktes von GfG_f ist. (2 BE)

5 Aufgabe 4 - Lösung

Lösung Aufgabe 4a4a

  • Da die Funktion ff den Grad 33 hat, hat die Ableitung ff' den Grad 22, ist also eine Parabel.

  • Die Extrempunkte der Funktion ff sind die Nullstellen der Ableitung ff', deswegen hat ff' die Nullstellen (10)(1|0) und (40)(4|0).

  • Da der erste Extrempunkt der Funktion ein Hochpunkt ist, steigt der Graph erst und fällt dann, beim Tiefpunkt fällt er erst und steigt dann. Das überträgt sich auf die Ableitungsfunktion und den Graphen GfG_{f'}. Dieser ist erst oberhalb der xx-Achse vor der ersten Nullstelle, zwischen den Nullstellen unterhalb der xx-Achse und nach der zweiten Nullstelle wieder oberhalb der xx-Achse. Deswegen liegt eine nach oben geöffnete Parabel vor.

Lösung Aufgabe 4b4b

Der Hochpunkt und der Tiefpunkt sind auf der xx-Achse 33 Längeneinheiten auseinander. Genau in der Mitte von einem Hoch und einem Tiefpunkt bei einer ganzrationalen Funktion ist der Wendepunkt. Daraus folgt, dass der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen 11 und 44 liegen muss, also bei 2,52{,}5.

6 Aufgabe 5 - Aufgabenstellung

55 Diese Abbildung zeigt den Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff.

Graph

a)a) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung eine Näherungswert für 35f(x)dx\int_3^5{f(x)\text{d}}x. (2 BE)

 

Die Funktion FF ist die in R\mathbb{R} definierte Stammfunktion von ff mit F(3)=0F(3)=0.

 

b)b) Geben Sie mit Hilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Ableitung von FF an der Stelle x=2x=2 an. (1 BE)

 

c)c) Zeigen Sie, dass F(b)=3bf(x)dxF(b)=\int_3^b{f(x)\text{d}}x mit bRb \in \mathbb{R} gilt. (2 BE)

7 Aufgabe 5 - Lösung

Lösung Aufgabe 5a5a

Die Größe des Integrals kannst du einfach ablesen, da eine Vorstellung zum Integral die Fläche unter der Kurve ist.

Graph

Zähle jetzt einfach die Kästchen, die von der Kurve, den zwei senkrechten Linien und der xx-Achse eingeschlossen sind. 44 Kästchen zusammen geben eine Flächeneinheit (1FE1\, FE).

35f(x)dx9Ka¨stchen=2,25FE\int_3^5{f(x)\text{d}}x\approx 9 Kästchen = 2{,}25 FE

Ob du 99 oder 1010 Kästchen heraus bekommst, ist bei einem Näherungswert nicht wichtig. Punkte gibt es trotzdem ;).

Lösung Aufgabe 5b5b

Die Aufgabe ist einfach nur gemein gestellt und klingt total kompliziert. Ist es aber wirklich nicht! Was ist denn die Ableitung von der Stammfunktion FF? Genau, einfach die Funktion ff. Deswegen musst du beim ablesen von diesem Punkt einfach nur in der Abbildung, die du schon gegeben hast, den Punkt mit der xx-Koordinate 22 heraus suchen.

Bei x=2x=2 ist y=0,5y=0{,}5 da die Funktion ff die Ableitung der Stammfunktion FF ist.

Lösung Aufgabe 5c5c

Überlege dir, wie du die Funktion ff integrierst. Dazu benötigst du die Stammfunktion. Diese hast du schon gegeben. Außerdem weißt du schon, dass F(3)=0F(3)=0. Aus dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung folgt:

abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^b{f(x)\text{d}}x=F(b)-F(a)

Setze die gegebenen Grenzen aus der Aufgabenstellung ein.

3bf(x)dx=F(b)F(3)\int_3^b{f(x)\text{d}}x=F(b)-F(3)

Setze ein, was du schon weißt.

3bf(x)dx=F(b)0=F(b)\int_3^b{f(x)\text{d}}x=F(b)-0=F(b)

Und schon bist du fertig! :)


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