Wandel folgende Brüche in Dezimalzahlen um.
23\frac2332
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Brüchen in Dezimalzahlen
Die 3 im Nenner kann man nicht auf 10 oder 100 erweitern, deshalb rechnen wir schriftlich.
2,0000:3=0,6666...−0‾20−18‾20−18‾−20−18‾−120−118‾−11201111111...\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&2{,}0000 : 3 = 0 , 6666... \\-&\underline{0} \\& \hphantom{}20 \\-& \underline{\hphantom{}{18}} \\&\hphantom{}20\\-&\underline{\hphantom{}18}\\&\hphantom{- }20\\&-\underline{\hphantom{}18}\\&\hphantom{- 1}20\\&-\underline{\hphantom{1}18}\\&\hphantom{- 11}20\\&\hphantom{1111111}...\end{array}−−−2,0000:3=0,6666...020182018−20−18−120−118−11201111111...
23=0,6666⋯=0,6‾\frac{2}{3}=0{,}6666\dots=0,\overline{6}32=0,6666⋯=0,6
Man hätte beim schriftlichen Dividieren auch schon bei der zweiten 6 aufhören können, wenn man merkt, dass man sich wiederholt.
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89\frac8998
Die 9 im Nenner kann man nicht auf 10 oder 100 erweitern, deshalb rechne wir schriftlich.
8,0000:9=0,8888...−0‾80−72‾180−172‾1180−1172‾11180−11172‾1111801111111...\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&8{,}0000 : 9 = 0 , 8888... \\-&\underline{0} \\& \hphantom{}80 \\-& \underline{\hphantom{}{72}} \\&\hphantom{1} 80\\-&\underline{\hphantom{1} 72}\\&\hphantom{11}80\\-&\hphantom{1}\underline{\hphantom{1} 72}\\&\hphantom{111}80\\-&\hphantom{11}\underline{\hphantom{1} 72}\\&\hphantom{ 1111}80\\&\hphantom{1111111}...\end{array}−−−−−8,0000:9=0,8888...080721801721180117211180111721111801111111...
89=0,8888⋯=0,8‾\frac{8}{9}=0{,}8888\dots=0,\overline{8}98=0,8888⋯=0,8
Man hätte beim schriftlichen dividiert auch schon bei der zweiten 8 aufhören können, wenn man merkt, dass man sich wiederholt.A
Das Ergebnis solltest du dir merken. Tatsächlich ergibt jede Zahl zwischen 1 und 8 geteilt durch 9 eine periodische Zahl mit derselben Ziffer. z.B. 49=0,4444⋯=0,4‾\frac{4}{9}=0{,}4444\dots=0,\overline{4}94=0,4444⋯=0,4
5125\frac12521
Berechne zuerst 12 \frac1221:
Dann kannst du 5125\frac{1}{2}521 berechnen.
77117\frac7{11}7117
Berechne zuerst 711 \frac{7}{11}117:
Die 11 im Nenner kann man nicht auf 100 oder 1000 erweitern, deshalb rechne wir schriftlich.
7,0000:11=0,6363...−0‾ 70 −66‾ 40 −33‾ 70 −66‾ 40 −33‾ 70\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;7{,}0000:11=0{,}6363...\\\underline{-0}\\\;\;\;70\\\;\underline{-66}\\\;\;\;\;\;40\\\;\;\underline{-33}\\\;\;\;\;\;\;\,70\\\;\;\;\;\underline{-66}\\\;\;\;\;\;\;\;\;40\end{array}\\\;\;\;\;\;\;\;\underline{-33}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;707,0000:11=0,6363...−070−6640−3370−6640−3370
Dann kannst du 77117\frac{7}{11}7117 berechnen:
4162564\frac{16}{256}425616
Als erstes formst du den gemischten Bruch um:
Dann kannst du mit 16 Kürzen und 116\frac{1}{16}161 ausrechnen:
Wir wissen das man den gemischten Bruch also besser so schreiben kann.
Um herauszubekommen was 116 \frac{1}{16}161 in Dezimalschreibweise ist gibt es zwei gute Wege.
Wir können schriftlich dividieren, das klappt immer:
1,0000:16=0,0625−00‾10−10‾100−196‾−40−1132‾−1180−180‾−11101111111...\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&1{,}0000 : 16 = 0 , 0625 \\-&\underline{00} \\& \hphantom{}10 \\-& \underline{\hphantom{1}{0}} \\&\hphantom{}100\\-&\underline{\hphantom{1}96}\\&\hphantom{- }40\\-&\underline{\hphantom{11}32}\\&\hphantom{- 11}80\\&\hphantom{}-\underline{\hphantom{1}80}\\&\hphantom{- 111}0\\&\hphantom{1111111}...\end{array}−−−−1,0000:16=0,0625001010100196−401132−1180−180−11101111111...
Damit können wir zusammenfassen:
416256=4+116=4+0,0625=4,06254\frac{16}{256}=4+\frac{1}{16}= 4+ 0{,}0625= 4{,}0625 425616=4+161=4+0,0625=4,0625
Ein fortgeschrittener Weg ist 116 \frac{1}{16}161 als Dezimalzahl zu schreiben, ist den Bruch 116 \frac{1}{16}161 so zu erweitern, dass im Nenner 10000 rauskommt.
116=1⋅516⋅5=580=5⋅580⋅5=25400=25⋅5400⋅5=1252000=125⋅52000⋅5=62510000=0,0625\frac{1}{16}=\frac{1\cdot 5}{16 \cdot 5}=\frac{5}{80}=\frac{5\cdot 5}{80 \cdot 5}=\frac{25}{400}=\frac{25\cdot 5}{400 \cdot 5}=\frac{125}{2000}=\frac{125\cdot 5}{2000 \cdot 5}=\frac{625}{10000}=0{,}0625161=16⋅51⋅5=805=80⋅55⋅5=40025=400⋅525⋅5=2000125=2000⋅5125⋅5=10000625=0,0625
Das geht schnell. Man sieht vermutlich aber nicht sofort, dass man 16 so schön erweitern kann. Um zu sehen, ob erweitern Sinn macht, kannst du eine Primzahlzerlegung des Nenners machen, (16=2⋅2⋅2⋅216=2\cdot 2\cdot 2\cdot 216=2⋅2⋅2⋅2) wenn nur 2er und 5er auftreten kannst du so erweitern, dass beide gleich oft vorkommen.
78\frac7887
78=7⋅1258⋅125=8751000=0,875\frac{7}{8}=\frac{7\cdot 125 }{8 \cdot 125}=\frac{875}{1000}=0{,}87587=8⋅1257⋅125=1000875=0,875
315323\frac{15}{32}33215
Berechne zunächst mit Taschenrechner oder mit schriftlicher Division:
Berechne dann den gesamten gemischten Bruch:
Die schriftliche Division sieht so aus:
15,0000:32=0,46875−00‾150−128‾1220−1192‾−280−11256‾−1240−1111224‾−111160−11111160‾−111110\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&15{,}0000 : 32 = 0 , 46875 \\-&\underline{00} \\& \hphantom{}150 \\-& \underline{\hphantom{}{128}} \\&\hphantom{1}220\\-&\underline{\hphantom{1}192}\\&\hphantom{- }280\\-&\hphantom{1}\underline{\hphantom{1 }256}\\&\hphantom{-1}240\\-&\hphantom{11}\underline{\hphantom{11}224}\\&\hphantom{- 111}160\\-&\hphantom{111}\underline{\hphantom{11}160}\\&\hphantom{- 11111}0\end{array}−−−−−−15,0000:32=0,468750015012812201192−28011256−12401111224−11116011111160−111110
3293\frac29392
Berechne zunächst 29\frac2992:
Die 9 im Nenner kann man nicht auf 100 oder 1000 erweitern, deshalb rechne wir schriftlich.
2,0000:9=0,2222...−0‾20−18‾120−118‾−20−−18‾−120−18‾−11201111111...\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&2{,}0000 : 9 = 0 , 2222... \\-&\underline{0} \\& \hphantom{}20 \\-& \underline{\hphantom{}{18}} \\&\hphantom{1}20\\-&\underline{\hphantom{1}18}\\&\hphantom{- }20\\-&\hphantom-\underline{\hphantom{}18}\\&\hphantom{- 1}20\\&\hphantom{}-\underline{\hphantom{}18}\\&\hphantom{- 11}20\\&\hphantom{1111111}...\end{array}−−−−2,0000:9=0,2222...02018120118−20−18−120−18−11201111111...
374911113\frac{749}{1111}31111749
Berechne zuerst mit dem Taschenrechner oder durch schriftliche Division:
749,0000:1111=0,6741...−0‾7490−6666‾18240−17777‾−4630−114444‾−11860−1111111‾−1174901111111...\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&749{,}0000 : 1111 = 0 , 6741 ... \\-&\underline{0} \\& \hphantom{}7490 \\-& \underline{\hphantom{}{6666}} \\&\hphantom{1}8240\\-& \underline{\hphantom{1}7777}\\&\hphantom{- }4630\\-&\hphantom{1}\underline{\hphantom{1}4444}\\&\hphantom{- 1}1860\\-&\hphantom{111}\underline{\hphantom{}1111}\\&\hphantom{- 11}7490\\&\hphantom{1111111}...\end{array}−−−−−749,0000:1111=0,6741...0749066661824017777−4630114444−118601111111−1174901111111...
Wichtig ist hier das man merkt das man merkt das man etwas rechnet, was man schon mal gerechnet hat und aufhört zu rechen.
−40755-40\frac7{55}−40557
Berechne zunächst 755\frac{7}{55}557 mit schriftlicher Division:
7,0000:55=0,1272...−0‾70−55‾150−110‾1400−1385‾11501110‾114001111111...\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&7{,}0000 : 55 = 0 , 1272... \\-&\underline{0} \\& \hphantom{}70 \\-& \underline{\hphantom{}{55}} \\&\hphantom{}150 \\-&\underline{\hphantom{}{110}}\\&\hphantom{{1} }400\\-&\hphantom{}\underline{\hphantom{1}385}\\&\hphantom{1 }150\\&\hphantom{}\underline{\hphantom{1}{110}}\\&\hphantom{11 }400\\&\hphantom{1111111}...\end{array}−−−−7,0000:55=0,1272...070551501101400138511501110114001111111...
Berechne dann:
−1325-\frac{13}{25}−2513
Den Bruch erweitern, sodass der Nenner 100 wird:
Da der Nenner nun 100 ist, kann man den Dezimalbruch leicht ablesen:
4374\frac37473
Berechne zunächst 37\frac{3}{7}73
3,0000:7=0,428571...−0‾30−28‾320−14‾−160−156‾−11401−35‾−1135011−49‾−111110111−17‾−111113011111111...\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&3{,}0000 : 7 = 0 , 428571... \\-&\underline{0} \\& 30 \\-& \underline{{28}} \\&\hphantom{3}20\\&-\underline{14}\\&\hphantom{- 1}60\\&-\hphantom{1}\underline{56}\\&\hphantom{- 11}40\\&\hphantom{1}-\underline{35}\\&\hphantom{- 113}50\\&\hphantom{11}-\underline{49}\\&\hphantom{- 1111}10\\&\hphantom{111}-\underline{\hphantom{1}7}\\&\hphantom{- 11111}30\\&\hphantom{11111111}...\end{array}−−3,0000:7=0,428571...03028320−14−160−156−11401−35−1135011−49−111110111−17−111113011111111...
113811\frac381183
Berechne zuerst 38\frac3883. Es gilt: 38=0,375\frac38=0{,}37583=0,375, da:
−136-\frac{13}6−613
Rechen wir mit schriftlicher Division:
13,0000:6=2,166...−12‾110−116‾…40−136‾−11401−136‾−1111...\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&13{,}0000 : 6 = 2 , 166... \\-&\underline{12} \\& \hphantom{1}10 \\-& \underline{\hphantom{11}{6}} \\&\hphantom{…}40\\&-\underline{\hphantom{1}36}\\&\hphantom{- 11}40\\&\hphantom{1}-\underline{\hphantom{1}36}\\&\hphantom{- 1111}...\end{array}−−13,0000:6=2,166...12110116…40−136−11401−136−1111...
−136=−216=−2,166⋯=−2,16‾-\frac{13}{6}=-2\frac{1}{6}=-2{,}166\dots=-2{,}1\overline{6}−613=−261=−2,166⋯=−2,16
−17555-\frac{175}{55}−55175
Ignorieren wir zunächst das Vorzeichen und rechen schriftlich 175:55
175,0000:55=3,181...−165‾1100−1155‾…450−1440‾−111001−155‾1111111...\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl}&175{,}0000 : 55 = 3 , 181... \\-&\underline{165}\\&\hphantom{1}100 \\-& \underline{\hphantom{11}55} \\&\hphantom{…}450\\&-\underline{\hphantom{1}440}\\&\hphantom{- 11}100\\&\hphantom{1}-\underline{\hphantom{1}55}\\&\hphantom{1111111}...\end{array}−−175,0000:55=3,181...16511001155…450−1440−111001−1551111111...
Man merkt wir rechen bei 100-55 etwas das wir schon mal gerechet haben. Und schreiben:
−17555=−3,1818⋯=–3,18‾-\frac{175}{55}=-3{,}1818\dots=–3,\overline{18}−55175=−3,1818⋯=–3,18
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