Mehrmaliges Ableiten ${\displaystyle \frac{1}{x}}$

• Wenn man sich den Nenner der einzelnen Ableitungen anschaut, erkennt man, dass sich der Exponent von $x$ nach jeder Ableitung um eins erhöht.Da bei der Funktion $f^{(4)}(x)$ der Exponent schon bei $5$ ist, kann man folgern, dass die Funktion $f^{(5)}(x)$ im Nenner ein $x^6$ hat.

• Du kannst also die Funktion $f^{(5)}(x)=-{\displaystyle \frac{120}{x^5}}$ und $f^{(5)}(x)=-120\cdot x^6$ ausschließen.

• Schau dir das Vorzeichen der Ableitungen an. Es variiert nach jeder Ableitung. Die Funktion $f^{(5)}(x)$ muss also ein negatives Vorzeichen haben. Deswegen kannst du auch $f^{(5)}(x)={\displaystyle \frac{120}{x^6}}$ ausschließen.

• Die gesuchte Funktion ist also $f^{(5)}(x)=-{\displaystyle \frac{120}{x^6}}$.

Man kann seine Wahl nun auch rechnerisch überprüfen.

Nutze dafür das Potenzgesetz zu negativen Exponenten, um den Funktionsterm umzuformen und leite die Funktion $f^{(4)}(x)={\displaystyle \frac{24}{x^5}}$ ab.

Die gesuchte Ableitung ist also tatsächlich $f^{(5)}(x)=-{\displaystyle \frac{120}{x^6}}$.

Tipp: Du kennst die schreibweise $"n!"$ nicht? Dann schau hier.

Wird die Funktion n-mal abgeleitet, so spricht man von der "n-ten Ableitung der Funktion".

Allgemeine Formel zur Ableitung der Funktion f(x)

• Betrachtest du die in der Aufgabe angegebenen Ableitungen und die in der Teilaufgabe a) bestimmte fünfte Ableitung, so fällt dir vielleicht auf, dass sich das Vorzeichen nach jeder Ableitung ändert.

• Die angegebene Formel $f^{(n)}(x)={\displaystyle \frac{n}{x^{(n+1)}}}$ ist somit nicht richtig, da die Variation des Vorzeichens nicht berücksichtigt wird.

• Hinweis: Bei einer geradzahligen Ableitung steht vor dem Term ein Plus und vor einer ungeraden Ableitung ein Minus.

• Schaust du dir den Zähler der Ableitungen genauer an, so siehst du, dass dieser nicht immer gleich ist.

• Die Funktion $f^{(n)}(x)=(-1{)}^n\cdot {\displaystyle \frac{1}{x^{(n+1)}}}$ ist somit nicht die gesuchte Formel.

• Untersuchst du den Zähler, so kannst du beispielsweise bei der vierten Ableitung durch Faktorisieren den Zähler wie folgt darstellen: $${\displaystyle 24=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4!}$$. Genauso kannst du auch bei der fünften Ableitung vorgehen: $${\displaystyle 120=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=5!}$$.

• Vergleichst du die Exponenten im Nenner der einzelnen Ableitungen, so bemerkst du, dass sich der Exponent von x nach jeder Ableitung um eins erhöht.

• Mit Hilfe dieser Erkenntnis kannst du die Formel $f^{(n)}(x)=(-1{)}^n\cdot {\displaystyle \frac{n!}{x}}$ ausschließen.

• Die gesuchte allgemeine Formel der Ableitung ist somit $f^{(n)}(x)=(-1{)}^n\cdot {\displaystyle \frac{n!}{x^{(n+1)}}}$.