Das Potenzieren ist eine verkürzte Schreibweise für das mehrmalige Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst. So schreibt man %%2\cdot2\cdot2%% als %%2^3%%. Der Exponent bzw. die Hochzahl, also die 3, beschreibt, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.

Generell hat jede Zahl ohne Exponenten den Exponenten %%1%%. Also gilt: %%x=x^1%%. Man schreibt daher beispielsweise statt %%3^1%% einfach nur %%3%%, da %%3^1=3%%.

Potenziert man eine beliebige Zahl, die selbst nicht %%0%% ist, mit %%0%%, so erhält man für %%x\neq 0%% immer %%x^0=1%%.
"%%0^0%%" ist nicht definiert.

Basis und Exponent

Die Zahl, welche mit sich selbst multipliziert werden soll, nennt man Basis und die Anzahl Exponent , das Ergebnis dieser Rechnung ist dann die Potenz

%%\mathrm{Potenz}=\mathrm{Basis}^{\mathrm E\mathrm x\mathrm p\mathrm o\mathrm n\mathrm e\mathrm n\mathrm t}%%

Potenzen von negativen Zahlen

Wird eine negative Zahl potenziert, hängt das Vorzeichen des Ergebnisses davon ab, ob der Exponent eine gerade oder ungerade Zahl ist. Ist er gerade, ist das Ergebnis positiv, ist er ungerade, bleibt die Potenz negativ.

Beispiel:

$$\begin{array}{rll} (-2)^2& =(-2)\cdot(-2) & =+4 \\ (-2)^3&=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)& =-8 \end{array}$$

Warum ist das so?

Rechnen wir %%(-a)^b%% aus:

$$(-a)^b=((-1)\cdot a)^b=(-1)^b\cdot a^b$$

Der Term %%a^b%% ist positiv, weil die Zahl %%a%% größer als Null ist. Beim Term %%(-1)^b%% können wir verwenden, dass „Minus mal Minus Plus ergibt“. Es ist:

$$\begin{array}{rll} (-1)^1 & = (-1) & = -1 \\ (-1)^2 & = (-1)\cdot (-1) & = +1 \\ (-1)^3 & = (-1)\cdot (-1)\cdot (-1) & = -1 \\ (-1)^4 & = (-1)\cdot (-1)\cdot (-1)\cdot (-1) & = +1 \\ \vdots \end{array}$$

Man sieht:

$$\begin{align} (-1)^{\text{gerade Zahl}} & =1 \\ (-1)^{\text{ungerade Zahl}} &= -1 \end{align}$$

Wenn also %%b%% eine gerade Zahl ist, ist %%(-1)^b%% positiv und wenn %%b%% eine ungerade Zahl ist, ist %%(-1)^b%% negativ. Somit ist auch %%(-1)^b\cdot a^b=(-a)^b%% positiv, wenn %%b%% gerade ist, und negativ, wenn %%b%% ungerade ist.

Negative Exponenten

Wie kann man %%a^{-x}%% interpretieren?

$$a^{-x}=\dfrac1{a^x}$$

Warum ist das so?

Betrachte:     %%1=a^0=a^{x+(-x)}=a^x\cdot a^{-x}%%    damit dies 1 ist, muss %%a^{-x}=\frac1{a^x}%% sein, denn   %%a^x\cdot\frac1{a^x}=\frac{a^x}{a^x}=1%%

Beispiele:

  • %%2^{-1}=\dfrac12%%

  • %%4^{-2}=\dfrac1{4^2}=\dfrac1{16}%%

Rationale Exponenten

Zahlen, die man mit einer rationalen Zahl (also einem Bruch) potenziert, kann man als Wurzel identifizieren:

$$x^\frac{a}{b}=\sqrt[b]{x^a}$$

Damit gilt umgekehrt für die Standard-Wurzel:

$$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x} =x^\frac{1}{2}$$

Beispiele:

$$5^\frac{5}{4} = \sqrt[4]{5^5}$$

$$7^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{7^2}}$$

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Zu article Potenzen:
Kowalsky 2018-01-13 15:37:29
Zitat vom Anfang: "Potenziert man eine beliebige Zahl x mit 0, so erhält man immer x^0=1";
Anmerkung: die gilt aber nur für x ungleich Null. Null hoch Null ist nicht definiert. Dies sollte oben ergänzt werden.
Renate 2018-01-15 09:36:58
Danke für den Hinweis, @Kowalsky!
- Ich habe es jetzt eingefügt. Passt es so?

Gruß
Renate
Digamma 2018-01-16 18:22:10
Ich möchte Kowalsky widersprechen. 0^0 ist in aller Regel als 1 definiert. Sonst würden die allgemeinen Darstellungen von Polynomen und Potenzreihen, wo das konstante Glied als a_0 x^0 bezeichnet wird, nicht funktionieren.
Digamma 2018-01-16 18:22:12
Ich möchte Kowalsky widersprechen. 0^0 ist in aller Regel als 1 definiert. Sonst würden die allgemeinen Darstellungen von Polynomen und Potenzreihen, wo das konstante Glied als a_0 x^0 bezeichnet wird, nicht funktionieren.
Kowalsky 2018-01-17 13:23:16
Hallo zusammen, ja das Problem mit 0^0 ist nicht so einfach. Aber, wir befinden uns hier beim Lehrstoff für das Gymnasium Klasse 8/9. In allen Lehrbüchern die ich kontrolliert habe ist 0^0 nicht definiert. Insbesondere zeigt ein üblicher Taschenrechner bei der Eingabe 0^0 einen mathem. Fehler an. Es sollte also bei dieser Defin. bleiben. Sonst könnte z.B. folgende Rechnung durchgeführt werden:
1 = 0^0 = 0^(5-5) = (0^5)/(0^5) = 0/0.
Interessanter Artikel zu dem Problem unter www.mathepedia.de/Null_hoch_Null.html
Digamma 2018-01-18 19:35:10
Aus dem Artikel lese ich eher heraus, dass man 0^0=1 setzen sollte. Die Ansicht, dass 0^0 undefiniert sei, hat mit Grenzwerten in der Analysis zu tun, nichts mit Algebra.
Bei deiner Rechnung entsteht das Problem nicht durch die Festsetzung 0^0 = 1, sondern durch die Division durch 0. Man könnte genauso falsch
0 = 0^1 = 0^(6-5) = (0^6)/(0^5) = 0/0 rechnen.
Sowohl der dtv-Atlas als auch mein Schrödel Elemente Buch lassen die Basis 0 zu. Mehr habe ich gerade nicht zur Hand.
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Zu article Potenzen: Elementare Kenntnisse
SebSoGa 2016-06-03 14:59:48
Hallo Serlo-Team,
man sollte in diesem Artikel auch von Anfang an erklären was beim Potenzieren geschieht und auch auf die trivialen Fälle wie 2^1 eingehen und erwähnen, dass man erste Potenzen gar nicht notiert.
Liebe Grüße
Sebastian
Stromi93 2016-06-06 13:13:53
Hallo Sebastian,
Danke für deinen Hinweis. Ich habe jetzt mal die Spezialfälle der Potenzen 0 und 1 hinzugefügt und den Artikel noch mit rationalen Exponenten ergänzt. Entspricht das deinen Vorstellungen?
Ich verstehe noch nicht ganz was du meinst mit "...von Anfang an erklären was beim Potenzieren geschieht...", da es eigentlich im ersten Satz des Artikels erklärt wird. Das ist sogar ziemlich nah an der Eigentlichen Definition dran.

Liebe Grüße
Stromi
SebSoGa 2016-06-07 15:07:27
Hey Stromi, danke für die Umsetzung!
Huh, manchmal wundert man sich selbst über das was man geschrieben hat ^^. Ich denke damit hatte ich nur die trivialen Exponenten gemeint :).

Was in der jetzigen Version etwas verwirrend ist, ist der Begriff der Potenz, der sich hier meiner Meinung nach nicht von dem des Exponenten unterscheiden lässt. Vielleicht sollte man dazu ein Beispiel nennen, wie "9 ist die zweite Potenz von 3". Den Begriff Potenz sollte man vielleicht fett schreiben, weil er sehr wichtig ist.

Noch zwei kleine Anmerkungen:

- Bei der Potenz 0 sieht es von der Formatierung des Textes so aus, als ob dort 1/x^0 stünde.
- Der Titel des ersten Videos enthält "Hochzahlen" als Begriff, allerdings wird dazu nichts im Artikel gesagt. Das sollte man noch ergänzen :)

Liebe Grüße
Sebastian
Stromi93 2016-06-08 11:08:30
Hallo Sebastian,
ich ab mir das jetzt eben nochmal angeschaut, du hast recht, der Begriff der Potenz war verwirrend, weil er auch falsch verwendet wurde. Habe das also geändert.
Außerdem habe ich die Überschriften vereinfacht.
Allerdings bin ich der Meinung, das die nötigen Begriffe im Kapitel "Basis und Exponent" klar dargestellt werden... Ich habe jetzt trotzdem dort nochmal erwähnt, das die Potenz das Ergebnis der Rechnung ist.
Wie siehst du das?

Liebe Grüße
Stromi
SebSoGa 2016-06-20 14:21:28
Hallo Stromi,
danke für das Bearbeiten :)
Die Abschnitte so wie du sie jetzt gemacht hast finde ich super!

Liebe Grüße
Sebastian
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Zu article Potenzen: Feedback von Serlo LabSchool
Stromi93 2016-05-04 14:02:11
Die Formel-Anzeige für die negativen Exponenten war zu klein und kaum lesbar, habe es größer gemacht
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Zu article Potenzen: Potenzgesetze
Tinsaye 2015-11-02 13:17:15
Ich glaub ein direkter Verweis auf den Artikel "Potenzgesetze" könnte hilfreich sein. Ich denke mal die meißten sind eher auf der Suche danach und werden entäucht wenn sie das hier nicht finden. Ich würde eventuell sogar statt die Sonderfälle "mit negativen Zahlen" ausführlich zu behanden die wichtigsten Potzengesetze mal auflisten und eben für mehr Infos dann auf dem anderen Artikel verweisen
Renate 2015-11-02 19:05:52
Ich stimme Tinsaye zu und meine auch, dass der Artikel in diesem Sinne oder ähnlich überarbeitet werden sollte.
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Zu article Potenzen: Video Fehler
Tinsaye 2014-09-02 13:36:57
Das erste Video geht nicht
Nish 2014-12-05 15:08:36
Fehler ist jetzt behoben. Danke für deinen Hinweis.